Question

如圖1，△ABC中，D、E、F分別為三邊BC、BA、AC上的點(diǎn)，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．
（1）若∠A=70°，求∠EDF的度數(shù)；
（2）如圖2，EM平分∠BED，F(xiàn)N平分∠CFD，當(dāng)EM∥FN時，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,平行線的性質(zhì),三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，等量代換，可得∠AED=∠A+∠C，∠AFD=∠A+∠B，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理，可得∠A+∠AED+∠AFD+∠EDF=3∠A+∠B+∠C+∠EDF=360°，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠EDG=∠DEM=

1

2

∠BED=

1

2

∠B，∠FDG=∠DFN=

1

2

∠DFC=

1

2

∠C，根據(jù)角的和差、等量代換，可得∠EDF═90°-

1

2

∠A，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答：解：（1）∵∠A、∠B、∠C是△ABC的內(nèi)角，
∴∠A+∠B+∠C=180°．
∵∠AED與∠BED是鄰補(bǔ)角，∠AFD與∠CFD是鄰補(bǔ)角，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，
∴∠AED=180°-∠DEB=180°-∠B=∠A+∠C，
∠AFD=180°-∠DFC=180°-∠C=∠A+∠B．
∵∠A+∠AED+∠AFD+∠EDF=3∠A+∠B+∠C+∠EDF=360°，
∴2∠A+∠EDF=180°．
∵∠A=70°
∴∠EDF=180°-2∠A=40°；
（2）如圖：

作GD∥EM，交AC于G，
∵EM∥FN
∴EM∥GD∥FN
∴∠EDG=∠DEM=

1

2

∠BED=

1

2

∠B
∠FDG=∠DFN=

1

2

∠DFC=

1

2

∠C
∴∠EDF=∠EDG+∠FDG=

1

2

（∠B+∠C）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A．①
∵2∠A+∠EDF=180°②
將①代入②得
2∠A+90°-

1

2

∠A=180°，
解得∠A=60°．

點(diǎn)評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，利用了三角形的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，題目稍有難度．