Question

如圖①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x軸，OA=2OB，AB=5，反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．

（1）直接寫出反比例函數(shù)的解析式；

（2）如圖②，P（x，y）在（1）中的反比例函數(shù)圖象上，其中1＜x＜8，連接OP，過O 作OQ⊥OP，且OP=2OQ，連接PQ．設(shè)Q坐標(biāo)為（m，n），其中m＜0，n＞0，求n與m的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若Q坐標(biāo)為（m，1），求△POQ的面積．

 

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）如圖①，在Rt△OAB中利用勾股定理計(jì)算出OB=，OA=2，由于AB平行于x軸，則OC⊥AB，則可利用面積法計(jì)算出OC=2，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AC=4，得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式為y=；

（2）分別過P、Q做x軸垂線，垂足分別為D、H，如圖②，先證明Rt△POH∽R(shí)t△OQD，根據(jù)相似的性質(zhì)得，由于OP=2OQ，PH=y，OH=x，OD=﹣m，QD=n，則，即有x=2n，y=﹣2m，而x、y滿足y=，則2n•（﹣2m）=8，即mn=﹣2，當(dāng)1＜x＜8時(shí)，1＜y＜8，所以1＜﹣2m＜8，解得﹣4＜m＜﹣；

（3）由于n=1時(shí)，m=﹣2，即Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），利用兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算出OQ=，則OP=2OQ=2，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

試題解析：（1）如圖①，

∵∠AOB=90°，

∴OA2+OB2=AB2，

∵OA=2OB，AB=5，

∴4OB2+OB2=25，解得OB=，

∴OA=2，

∵AB平行于x軸，

∴OC⊥AB，

∴OC•AB=OB•OA，即OC==2，

在Rt△AOC中，AC==4，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），

設(shè)過A點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為y=，

∴k=4×2=8，

∴反比例函數(shù)解析式為y=；

（2）分別過P、Q作x軸垂線，垂足分別為D、H，如圖②，

∵OQ⊥OP，

∴∠POH+∠QOD=90°，

∵∠POH+∠OPH=90°，

∴∠QOD=∠OPH，

∴Rt△POH∽R(shí)t△OQD，

∴，

∵P（x，y）在（1）中的反比例函數(shù)圖象上，其中1＜x＜8，Q點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），其中m＜0，n＞0，OP=2OQ，

∴PH=y，OH=x，OD=﹣m，QD=n，

∴，解得x=2n，y=﹣2m，

∵y=，

∴2n•（﹣2m）=8，

∴mn=﹣2（﹣4＜m＜﹣）；

（3）∵n=1時(shí)，m=﹣2，即Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），

∴OQ=，

∴OP=2OQ=2，

∴S△POQ==5．

考點(diǎn)：1、待定系數(shù)法；2、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；3、相似三角形的判定與性質(zhì)；4、勾股定理