Question

如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．
（1）求證：BE=DF
（2）連接AC交EF于點D，延長OC至點M，使OM=OA，連結(jié)EM、FM，試證明四邊形AEMF是菱形．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠B=∠D=90°，然后利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DF；
（2）求出CE=CF，然后利用“邊邊邊”證明△AEC和△AFC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠EAC=∠FAC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC垂直平分EF，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得EM=FM，再判斷出EF垂直平分AM，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AE=EM，然后根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形證明．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AE=AF AB=AD

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF；

（2）解：∵BC=CD，BE=DF，
∴BC-BE=CD-CF，
即CE=CF，
在△AEC和△AFC中，

AE=AF AC=AC CE=CF

，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EM=FM，
∵OM=OA，
∴EF垂直平分AM，
∴AE=EM，
∴AE=EM=FM=AF，
∴四邊形AEMF是菱形．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，（1）熟記正方形的性質(zhì)并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵，（2）熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．