Question

已知拋物線與x軸交于A、B兩點．
（1）求證：拋物線的對稱軸在y軸的左側；
（2）若（O為坐標原點），求拋物線的解析式；
（3）設拋物線與y軸交于點C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明拋物線的對稱軸＜0即可證明拋物線的對稱軸在y軸的左側；
（2）根據(jù)題中已知條件求出m的值，進而求得拋物線的解析式；
（3）先設出C點坐標，根據(jù)的x₁與x₂關系求出m值，進而可求得△ABC的面積．
解答：（1）證明：∵m＞0，
∴x=-=-＜0，
∴拋物線的對稱軸在y軸的左側；

（2）解：設拋物線與x軸交點為A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=-m＜0，x₁•x₂=-m²＜0，
∴x₁與x₂異號，
又∵=＞0，
∴OA＞OB，
由（1）知：拋物線的對稱軸在y軸的左側，
∴x₁＜0，x₂＞0，
∴OA=|x₁|=-x₁ ，
OB=x₂，
代入得：=，
=，
從而，
解得m=2，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3；

（3）解：當x=0時，y=-m²
∴點C（0，-m²），
∵△ABC是直角三角形，
∴AB²=AC²+BC²，
∴（x₁-x₂）²=x₁²+（-m²）²+x₂²+（-m²）²
∴-2x₁•x₂=m⁴
∴-2（-m²）=m⁴，
解得m=，
∴S_△ABC=×|AB|•|OC|=|x₁-x₂|•=×2m×m²=．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和三角形面積的求法等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結合數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．