【題目】如圖,Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標系中,直角邊OA與x軸重合,∠OAB=90°,OA=4,AB=2,把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置,一條拋物線正好經(jīng)過點O,C,A三點.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)在x軸上方的拋物線上有一動點P,過點P作x軸的平行線交拋物線于點M,分別過點P,點M作x軸的垂線,交x軸于E,F(xiàn)兩點,問:四邊形PEFM的周長是否有最大值?如果有,請求出最值,并寫出解答過程;如果沒有,請說明理由.
(3)如果x軸上有一動點H,在拋物線上是否存在點N,使O(原點)、C、H、N四點構(gòu)成以OC為一邊的平行四邊形?若存在,求出N點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)、y=﹣x2+4x;(2)、10;(3)、N1(2+2,﹣4),N2(2﹣2,﹣4)
【解析】試題分析:(1)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出C的坐標和A的坐標,又因為拋物線經(jīng)過原點,故設y=ax2+bx把(2,4),(4,0)代入,求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式;(2)、四邊形PEFM的周長有最大值,設點P的坐標為P(a,﹣a2+4a)則由拋物線的對稱性知OE=AF,所以EF=PM=4﹣2a,PE=MF=﹣a2+4a,則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+(﹣a2+4a)]=﹣2(a﹣1)2+10,利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形PEFM的周長的最大值;(3)、在拋物線上存在點N,使O(原點)、C、H、N四點構(gòu)成以OC為一邊的平行四邊形,由(1)可求出拋物線的頂點坐標,過點C作x軸的平行線,與x軸沒有其它交點,過y=﹣4作x軸的平行線,與拋物線有兩個交點,這兩個交點為所求的N點坐標所以有﹣x2+4x=﹣4,解方程即可求出交點坐標.
試題解析:(1)、因為OA=4,AB=2,把△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,
可以確定點C的坐標為(2,4);由圖可知點A的坐標為(4,0),
又因為拋物線經(jīng)過原點,故設y=ax2+bx把(2,4),(4,0)代入,得,解得
所以拋物線的解析式為y=﹣x2+4x;
(2)、四邊形PEFM的周長有最大值,理由如下:
由題意,如圖所示,設點P的坐標為P(a,﹣a2+4a)則由拋物線的對稱性知OE=AF,
∴EF=PM=4﹣2a,PE=MF=﹣a2+4a,
則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+(﹣a2+4a)]=﹣2(a﹣1)2+10,
∴當a=1時,矩形PEFM的周長有最大值,Lmax=10;
(3)、在拋物線上存在點N,使O(原點)、C、H、N四點構(gòu)成以OC為一邊的平行四邊形,理由如下:
∵y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4可知頂點坐標(2,4),
∴知道C點正好是頂點坐標,知道C點到x軸的距離為4個單位長度,
過點C作x軸的平行線,與x軸沒有其它交點,過y=﹣4作x軸的平行線,與拋物線有兩個交點,
這兩個交點為所求的N點坐標所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+,x2=2﹣
∴N點坐標為N1(2+,﹣4),N2(2﹣,﹣4).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】解方程:
(1)4(x﹣2)2﹣49=0.
(2)x2﹣5x﹣7=0.
(3)(2x+1)(x﹣2)=3.
(4)3x(x﹣2)=2(2﹣x).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)學活動課上,老師提出了一個問題:
如圖1,A、B兩點被池塘隔開,在AB外選一點,連接AC和BC,怎樣測出A、B兩點的距離?
【活動探究】學生以小組展開討論,總結(jié)出以下方法:
(1)如圖2,選取點C,使AC=BC=a,∠C=60°;
(2)如圖3,選取點C,使AC=BC=b,∠C=90°;
(3)如圖4,選取點C,連接AC,BC,然后取AC、BC的中點D、E,量得DE=c…
【活動總結(jié)】
(1)請根據(jù)上述三種方法,依次寫出A、B兩點的距離.(用含字母的代數(shù)式表示)并寫出方法(3)所根據(jù)的定理.
AB= ,AB= b ,AB= .
定理: .
(2)請你再設計一種測量方法,(圖5)畫出圖形,簡要說明過程及結(jié)果即可.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,直線 y=2x+3 與直線 y= ﹣ 2x ﹣ 1.
( 1 )求兩直線與 y 軸交點A,B的坐標;
( 2 )求兩直線交點 C 的坐標;
( 3 )求 △ ABC 的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進取”主題班會活動,活動后,就活動的個主題進行了抽樣調(diào)查(每位同學只選最關注的一個),根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)這次調(diào)查的學生共有多少名?
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整,并在扇形統(tǒng)計圖中計算出“進取”所對應的圓心角的度數(shù).
(3)如果要在這個主題中任選兩個進行調(diào)查,根據(jù)(2)中調(diào)查結(jié)果,用樹狀圖或列表法,求恰好選到學生關注最多的兩個主題的概率(將互助、平等、感恩、和諧、進取依次記為A、B、C、D、E).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,∠ABK的角平分線BE的反向延長線和∠DCK的角平分線CF的反向延長線交于點H,∠K﹣∠H=27°,則∠K=( )
A. 76° B. 78° C. 80° D. 82°
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,O為AC中點,EF過O點且EF⊥AC分別交DC于F,交AB于點E,點G是AE中點且∠AOG=30°,則下列結(jié)論正確的個數(shù)為( )
(1)DC=3OG; (2)OG=BC; ( 3)OGE是等邊三角形; ( 4)SAOE= S矩形ABCD
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在菱形ABCD中,AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F,且E、F分別為BC、CD的中點,(如圖)則∠EAF等于( )
A. 75°B. 45°C. 60°D. 30°
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,點D、E分別是邊AB、BC的中點,點F、G是邊AC的三等分點,DF、EG的延長線相交于點H,連接HA、HC.
(1)求證:四邊形FBGH是菱形;
(2)求證:四邊形ABCH是正方形.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com