Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）設(shè)上述拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥于， 為線段

上一點(diǎn)， 為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似；

滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí)，求的取值范圍；

②若滿足條件的點(diǎn)有且只有兩個(gè)，直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（2） ；（2）① ；②1或

【解析】試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將C（0，3）代入求得a的值可得到拋物線的解析式；
（2）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而得到ED的長(zhǎng)，然后再求得拋物線的對(duì)稱軸，從而得到CE的長(zhǎng)，然后設(shè)PE=x，則PD=3-x，然后分為△CEP∽△QDP和△CEP∽△PDQ兩種情況列出比例式，從而得到m與x的函數(shù)關(guān)系，然后依據(jù)函數(shù)關(guān)系可確定出m的取值范圍，①依據(jù)符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，然后找出僅能夠使得其中一個(gè)三角形的相似時(shí)，m的范圍即可；②找出能夠使得兩種情況都成立時(shí)，m的范圍即可．

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
將C（0，3）代入得：3=-3a，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3．
（2）∵x=-=1，
∴CE=1．
將x=0代入拋物線的解析式得：y=3，
∴點(diǎn)C（0，3）．
∴ED=3．
設(shè)EP=x，則（0＜x＜3）．
當(dāng)△CEP∽△QDP時(shí)，則,即，

整理得：m=2-，
∴m隨x的增大而增大，
∴m＜1．
∵Q在x軸的負(fù)半軸上，
∴m＜0．
當(dāng)△CEP∽△PDQ時(shí)， ,即，整理得：m=x2-3x+1，
∴當(dāng)x=時(shí)，m有最小值，m的最小值=-．
又∵Q在x軸的負(fù)半軸上，
∴m＜0．
∴-≤m＜0．
①∵當(dāng)m＜-時(shí)，有且只有△CEP∽△QDP一種情況，
∴當(dāng)m＜-時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)．
②當(dāng)-≤m＜0時(shí)，存在△CEP∽△QDP或△CEP∽△PDQ兩種情況，
∴當(dāng)-≤m＜0時(shí)，滿足條件的P點(diǎn)有且只有兩個(gè)．