Question

如圖所示，已知A（

1

2

，y₁），B（2，y₂）為反比例函數(shù)y=

1

x

圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之和達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是

 

；當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）如圖1，過x軸作點(diǎn)B的對稱點(diǎn)B′，連接AB′與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．根據(jù)點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)可以求得直線AB′的 解析式，根據(jù)該解析式可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，求出AB的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延長AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA-PB=AB，此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：∵把A（

1

2

，y₁），B（2，y₂）代入反比例函數(shù)y=

1

x

得：y₁=2，y₂=

1

2

，
∴A（

1

2

，2），B（2，

1

2

）．
（1）如圖1，過x軸作點(diǎn)B的對稱點(diǎn)B′，連接AB′與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，則B′（2，-

1

2

）．
設(shè)直線AB′為y=kx+b（k≠0），則

2= 1 2 k+b - 1 2 =2k+b

．
解得

k=- 5 3 b= 17 6

．
故直線AB′的解析式為：y=-

5

3

x+

17

6

．
令y=0，
解得，x=1.7．
故P（1.7，0）；

（2）∵在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延長AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA-PB=AB，
即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，
設(shè)直線AB的解析式是y=ax+c（a≠0）
把A、B的坐標(biāo)代入得：

2= 1 2 x+c 1 2 =2x+c

，
解得：

a=-1 c= 5 2

，
∴直線AB的解析式是y=-x+

5

2

，
當(dāng)y=0時(shí)，x=

5

2

，
即P（

5

2

，0）；
故答案是：（1.7，0）；（

5

2

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，題目比較好，但有一定的難度．