Question

問題背景：
設(shè)一元二次方程ax²+bx+c=0 （a≠0）兩個(gè)根分別是x₁，x₂
則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

（1）若x₁：x₂=2：1時(shí)，求

b2

ac

的值

類比探究：
（2）若x₁：x₂=1：1時(shí)，則

b2

ac

=

 

（3）若x₁：x₂=3：1時(shí)，則

b2

ac

=

 

（4）若x₁：x₂=m：1時(shí)，則

b2

ac

=

 

 （用m的式子表示）
拓展延伸：
（5）若x₁：x₂=m：n時(shí)，則

b2

ac

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）設(shè)x₁=2t，x₂=t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2t+t=-

b

a

，2t•t=

c

a

，消去t得到2（-

b

3a

）²=

c

a

，然后利用比例的性質(zhì)即可得到

b2

ac

=

9

2

；
（2）、（3）、（4）、（5）用同樣的方法進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）設(shè)x₁=2t，x₂=t，則2t+t=-

b

a

，2t•t=

c

a

，
所以t=-

b

3a

，2t²=

c

a

，
所以2（-

b

3a

）²=

c

a

，
所以

b2

ac

=

9

2

；
（2）設(shè)x₁=t，x₂=t，則t+t=-

b

a

，t•t=

c

a

，
所以t=-

b

2a

，t²=

c

a

，
所以（-

b

2a

）²=

c

a

，
所以

b2

ac

=4；
（3）設(shè)x₁=3t，x₂=t，則3t+t=-

b

a

，3t•t=

c

a

，
所以t=-

b

4a

，3t²=

c

a

，
所以3（-

b

4a

）²=

c

a

，
所以

b2

ac

=

16

3

；
（4）設(shè)x₁=mt，x₂=t，則mt+t=-

b

a

，mt•t=

c

a

，
所以t=-

b

(m+1)

，mt²=

c

a

，
所以m（-

b

(m+1)a

）²=

c

a

，
所以

b2

ac

=

(m+1)2

m

；
（5）設(shè)x₁=mt，x₂=nt，則mt+nt=-

b

a

，mt•nt=

c

a

，
所以t=-

b

(m+n)a

，mnt²=

c

a

，
所以mn（-

b

(m+n)a

）²=

c

a

，
所以

b2

ac

=

(m+n)2

mn

．
故答案為4，

16

3

；

(m+1)2

m

；

(m+n)2

mn

．

點(diǎn)評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．