Question

如圖，已知⊙O₁、⊙O₂外切于點(diǎn)P，AB是一條外公切線，A、B為切點(diǎn)．
（1）連接AP、BP，證明：AP⊥BP；
（2）連接BO₂并延長(zhǎng)交⊙O₂于點(diǎn)D，過(guò)D引⊙O₁的切線，切點(diǎn)為C，證明：CD=BD．
（3）設(shè)⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為1和3，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相切兩圓的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：幾何綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）連接PD，AO₁，O₁O₂，過(guò)P作兩圓的切線，交AB于M，根據(jù)切線性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)得出∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，即可求出答案；
（2）求出CD²=CP•CA，證△DBP∽△DAB，推出CB²=CP•CA，即可得出答案；
（3）過(guò)點(diǎn)O₁作AN∥O₁O₂交O₂B于點(diǎn)N，求出四邊形AO₁O₂N是平行四邊形，推出NA=O₁O₂=1+3=4，AO₁=NO₂=1，求出BN=2，在Rt△ABN中，由勾股定理求出AB，根據(jù)扇形和梯形的面積公式求出即可．

解答：證明：（1）連接PD，AO₁，O₁O₂，過(guò)P作兩圓的切線，交AB于M，
∵BD是圓O₂的直徑，
∴∠BPD=90°，
又∵AB是兩圓的外公切線，A，B為切點(diǎn)，
∴∠BAP=∠MPA，∠MPB=∠MBP，
∵∠BAP+∠APB+∠ABP=180°，
∴∠MPA+∠MPB=∠APB=90°；

（2）∵∠APD=180°．
∴A，P，D三點(diǎn)共線
∵CD切圓O₁于點(diǎn)D，∴CD²=CP•CA，
在△ABC中，∠CAB=90°，又∵BP⊥AD，
∴∠DPB=∠DBA=90°，∠BDP=∠BDA，
∴△DBP∽△DAB，
∴CB²=CP•CA，
故CD=CB；

（3）解：過(guò)點(diǎn)O₁作AN∥O₁O₂交O₂B于點(diǎn)N，
∵⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)C，AB為兩圓外公切線，切點(diǎn)為A，B，⊙O₁的半徑為1，⊙O₂的半徑為3，
∴四邊形AO₁O₂N是平行四邊形，
∴NA=O₁O₂=1+3=4，AO₁=NO₂=1，
∴BN=3-1=2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=

AN2-BN2

=2

3

，
∴sin∠ANB=

AB

AN

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠ANB=60°，
∴∠BO₂P=60°，
∴∠AO₁P=180°-60°=120°，
∴S_陰影=S 梯形O1ABO2-S 扇形AO1P-S 扇形BO2P=

1

2

×（1+3）×2

3

-

120π•12

360

-

60π•32

360

=4

3

-

11

6

π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相切兩圓的性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)，此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．