Question

【題目】等腰被某一條直線分成兩個(gè)等腰三角形，并且其中一個(gè)等腰三角形與原三角形相似，則等腰的頂角的度數(shù)是____．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

因?yàn)轭}中沒有指明是過頂角的頂點(diǎn)還是過底角的頂點(diǎn)，且其中一個(gè)等腰三角形與原三角形相似與故應(yīng)該分三種情況進(jìn)行分析，從而求解．

解：①如圖1，∵AB=AC，當(dāng)BD=CD，CD=AD，

∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴4∠B=180°，

∴∠B=45°，

∴∠BAC=90°．

此時(shí)易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故∽；

②如圖2，∵AB=AC，AD=BD，AC=CD，

∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，

∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，

∴∠BAC=3∠B，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°，

∴∠BAC=108°．

此時(shí)易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故∽；

③如圖3，∵AB=AC，AD=BD=BC，

∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，

∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABC=∠C=2∠BAC，

∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，

∴5∠BAC=180°，

∴∠BAC=36°．

此時(shí)易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有∽；

故答案為：或或．