【題目】某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中,對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究:

(問(wèn)題發(fā)現(xiàn))如圖1AD,BD為⊙O的兩條弦(ADBD),點(diǎn)C的中點(diǎn),過(guò)CCEBD,垂足為E.求證:BEDE+AD

(問(wèn)題探究)小明同學(xué)的思路是:如圖2,在BE上截取BFAD,連接CA,CB,CD,CF.……請(qǐng)你按照小明的思路完成上述問(wèn)題的證明過(guò)程.

(結(jié)論運(yùn)用)如圖3,ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形,點(diǎn)D上一點(diǎn),∠ACD45°,連接BD,CD,過(guò)點(diǎn)AAECD,垂足為E.若AB,則BCD的周長(zhǎng)為   

(變式探究)如圖4,若將(問(wèn)題發(fā)現(xiàn))中“點(diǎn)C的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)C為優(yōu)弧的中點(diǎn)”,其他條件不變,上述結(jié)論“BEDE+AD”還成立嗎?若成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出BEAD、DE之間的新等量關(guān)系,并加以證明.

【答案】【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】見(jiàn)解析;【問(wèn)題探究】見(jiàn)解析;【結(jié)論運(yùn)用】8+4;【變式探究】結(jié)論“BEDE+AD”不成立,BE+ADDE,理由見(jiàn)解析

【解析】

[問(wèn)題探究]BE上截取BFAD,連接CA,CBCD,CF,證明DAC≌△FBC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CDCF,根據(jù)等腰三角形的三線合一、結(jié)合圖形證明結(jié)論;

[結(jié)論運(yùn)用]連接AD,在CE上截取CFAD,連接AF,證明DAB≌△FAC,得到DB+DC2EC,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EC,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算,得到答案;

[變式探究]在線段DE上截取DFAD,連接CB、CF、CDCA,證明ADC≌△FDC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)解答即可.

解:[問(wèn)題探究]如圖2,在BE上截取BFAD,連接CACB,CD,CF

點(diǎn)C的中點(diǎn),

,

ACBC,

由圓周角定理得,DACDBC,

DACFBC中,

,

∴△DAC≌△FBCSAS

CDCF,又CEBD,

DEEF

BEEF+BFDE+AD;

[結(jié)論運(yùn)用]連接AD,在CE上截取CFAD,連接AF,

[問(wèn)題探究]可知,DAB≌△FAC,

BDCF,ADAF

AECD,

DEEF,

ECEF+CFDE+BD

DB+DC2EC,

Rt△AEC中,ACE45°,

ECAC4

∴△BCD的周長(zhǎng)=DB+DC+BC8+4,

故答案為:8+4;

[變式探究]結(jié)論BEDE+AD不成立,BE+ADDE

理由如下:在線段DE上截取DFAD,連接CBCF、CDCA,

點(diǎn)C為優(yōu)弧的中點(diǎn),

,

ACCB,ADCBDC

ADCFDC中,

,

∴△ADC≌△FDCSAS),

CACF,

CACB

CFCB,又CEBD

BEEF,

DEDF+EFBE+AD

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)當(dāng)窗戶(hù)完全閉合時(shí),OC_____cm

2)當(dāng)窗戶(hù)完全打開(kāi)時(shí),PC_____cm

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學(xué)生借閱圖書(shū)的次數(shù)

借閱圖書(shū)的次數(shù)

0

1

2

3

4次及以上

人數(shù)

7

13

a

10

3

學(xué)生借閱圖書(shū)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)表

請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表的信息,解答下列問(wèn)題:

1a= ;b=

2)該調(diào)查統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__________

3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“3次”所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是______________;

4)若該校共有2000名學(xué)生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該校學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書(shū)“4次以上”的人數(shù)

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【題目】在開(kāi)發(fā)區(qū)建設(shè)中,要拆除煙囪AB,在地面上事先畫(huà)定以B為圓心,半徑與AB等長(zhǎng)的圓形危險(xiǎn)區(qū),現(xiàn)在從離B點(diǎn)21米遠(yuǎn)的建筑物CD頂點(diǎn)C,測(cè)得A點(diǎn)的仰角為B點(diǎn)的俯角為,問(wèn)離B點(diǎn)35米遠(yuǎn)的文物保護(hù)區(qū)是否在危險(xiǎn)區(qū)內(nèi),請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

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1)以AB邊上一點(diǎn)O為圓心作⊙O,使⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C;(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法)

2)判斷點(diǎn)B與⊙O的位置關(guān)系是   .(直接寫(xiě)出答案)

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3)將點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得點(diǎn),連接、,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到,再沿線段以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到后停止,求點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少是多少?

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1)求證:CE與⊙O相切;

2)連結(jié)BD并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,若OA=5,sinBAE=,求AF的長(zhǎng).

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