Question

仿照下面的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b

3

=(m+n

3

)2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a=

 

，b=

 

；
（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：

 

+

 

3

=（

 

+

 

3

）²；
（3）若a+4

3

=(m+n

3

)2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次根式的化簡求值

專題：計(jì)算題,探究型

分析：（1）（m+n

3

）²利用完全平方公式展開，然后根據(jù)與a+b

3

對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相同即可求得；
（2）首先確定m、n的值，然后根據(jù)（1）的結(jié)論求得a、b即可；
（3）根據(jù)（1）可以得到m，n之間的關(guān)系，根據(jù)m、n是完全平方式即可求解．

解答：解：（1）∵（m+n

3

）²=m²+2

3

mn+3n²=m²+3n²+2mn

3

，
∴a=m²+3n²，b=2mn；
（2）當(dāng)m=1，n=1時(shí)，a=4，b=2，
則4+2

3

=（1+

3

）²；
（3）∵（m+n

3

）²=m²+3n²+2mn

3

，
∴2mn=4，a=m²+3n²，
解得：mn=2，
∵m、n是正整數(shù)，
∴m=1、n=2或m=2，n=1，
則當(dāng)m=1、n=2時(shí)，a=1+12=13；
當(dāng)m=2，n=1時(shí)，a=4+3=7．
故a=13或7．

點(diǎn)評：本題考查了二次根式的化簡求值，正確理解a、b與m、n之間的關(guān)系是關(guān)鍵．