Question

【題目】點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，在直線AB上側(cè)任作一個(gè)∠COD，使得∠COD=90°．

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)O作射線OE，當(dāng)OE恰好為∠AOD的角平分線時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠BOD與∠COE之間的倍數(shù)關(guān)系，即∠BOD= ______ ∠COE（填一個(gè)數(shù)字）；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)O作射線OE，當(dāng)OC恰好為∠AOE的角平分線時(shí)，另作射線OF，使得OF平分∠COD，求∠FOB+∠EOC的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，若∠EOC=3∠EOF，求∠AOE的度數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)2;(2) 135°；(3)67.5°.

【解析】試題分析：

（1）由題意可得∠AOC=90°-∠BOD；∠AOE=∠AOD；∠AOD=180°-∠BOD；把上述三個(gè)關(guān)系式代入∠COE=∠AOE-∠AOC中化簡(jiǎn)即可得到∠COE=∠BOD，從而可得出∠BOD=2∠COE；

（2）由OC為∠AOE的角平分線，OF平分∠COD可得：∠AOC=∠COE，∠DOF=∠COF=45°；結(jié)合∠BOD+∠AOC=90°，∠EOC+∠FOB=∠EOC+∠FOD+∠BOD即可求得∠EOC+∠FOB的度數(shù)；

（3）如備用圖，設(shè)∠EOF= ，則∠EOC=，結(jié)合（2）可得∠AOE=2∠EOC=，∠COF==45°，由此即可解得∠AOE=67.5°.

試題解析：

（1）∠BOD=2∠COE；理由如下：

∵∠COD=90°．

∴∠BOD+∠AOC=90°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOE=∠DOE=∠AOD，

又∵∠BOD=180°-∠AOD，

∴∠COE=∠AOE-∠AOC=∠AOD-（90°-∠BOD）=（180°-∠BOD）-90°+∠BOD=∠BOD，

∴∠BOD=2∠COE；

（2）∵OC為∠AOE的角平分線，OF平分∠COD，

∴∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，

∴∠FOB+∠EOC=∠DOF+∠BOD+∠AOC=45°+90°=135°；

（3）如備用圖：∵∠EOC=3∠EOF，

∴設(shè)∠EOF=x，則∠EOC=3x，

∴∠COF=4x，

∴結(jié)合（2）可得：∠AOE=2∠COE=6x，∠COF=4x=45°，

解得：x=11.25°，

∴∠AOE=6×11.25°=67.5°．