如圖.矩形ABCD中,AB=1,BC=2,將矩形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得矩形A′B′C′D,再將矩形A′B′C′D繞C′順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得矩形A″B″C′D′.
(1)求兩次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)A經(jīng)歷的軌跡的總長(zhǎng)度;
(2)求陰影部分①的面積;
(3)求陰影部分②的面積(在直角三角形中,如果有一條直角邊是斜邊的一半,那么它所對(duì)的角等于30度.).
(1)連接AC,在Rt△ABC中,
∵AB=1,BC=2,
∴根據(jù)勾股定理得:AC=
AB2+BC2
=
5
,
由旋轉(zhuǎn)可知A′C′=A″C″=
5
,A′D=AD=BC=2,
又A′B′=C′D′,∠A′B′C′=∠A″D′C′=90°,B′C′=D′A″,
∴△AB′C′≌△C′D′A″(SAS),
∴∠AC′B′=∠C′A″D′,又∠C′A″D′+∠D′C′A″=90°,
∴∠C′A″D′+∠AC′B=90°,即∠A′C′A″=90°,
則兩次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)A經(jīng)歷的軌跡的總長(zhǎng)度為
AA′
+
A′A″
=
90π×2
180
+
90π×
5
180
=π+
5
2
π
;

(2)∵△AB′C′≌△C′D′A″,且兩三角形面積都為矩形面積的一半,
∴陰影部分①的面積S=S扇形A′C′A″-2S△AB′C′
=S扇形A′C′A″-S矩形=
90π×(
5
)
2
360
-1×2=
5
4
π-2
;

(3)∵ED=A′D=AD=BC=2,CD=AB=1,且∠ECD=90°,
∴∠CED=30°,又BCAD,
∴∠ADE=30°,
又在Rt△ECD中,ED=2,CD=1,
根據(jù)勾股定理得:EC=
ED2-CD2
=
3
,
則陰影部分②的面積S=S扇形ADE+S△ECD=
30π×22
360
+
1
2
×
3
×1=
1
3
π+
3
2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列圖案中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是( 。
A.B.C.D.

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已知P1(a,3)和P2(-4,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則(a+b)2010的值為______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,△ABC為等邊三角形,P為三角形內(nèi)一點(diǎn),將△ABP繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后與△ACP′重合,若AP=3,則PP′=______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,在網(wǎng)格中建立了平面直角坐標(biāo)系,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度,將四邊形ABCD繞坐標(biāo)原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°后得到四邊形A1B1C1D1
(1)直接寫出D1點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)將四邊形A1B1C1D1平移,得到四邊形A2B2C2D2,若D2(4,5),畫出平移后的圖形.(友情提示:畫圖時(shí)請(qǐng)不要涂錯(cuò)陰影的位置哦。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知四邊形ABCD和點(diǎn)O,畫四邊形A′B′C′D′使四邊形A′B′C′D′和四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25°,得到△A′B′C,A′B′交AC于D,已知∠A′DC=80°,若AB與A′B′交于E,則∠BEA′的度數(shù)是( 。
A.135°B.145°C.155°D.165°

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,-2).
(1)把△ABC向上平移5個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)的△A1B1C1,畫出△A1B1C1,并寫出C1的坐標(biāo);
(2)以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心,畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的△A2B2C2,并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo).
(3)以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,畫出把△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所得的圖形△A3B3C3,并寫出C3,的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(1)如圖1所示,在平行四邊形ABCD中,BE⊥AD,垂足為E,試畫出將△ABE平移后的圖形,其平移的方向?yàn)樯渚AD的方向,平移的距離為線段AD的長(zhǎng).
(2)在圖2中作出“三角旗”繞O點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖案.

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同步練習(xí)冊(cè)答案