Question

已知一元二次方程x²+mx+n+2=0的一根為-1．
（1）試確定n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（2）判斷拋物線y=x²+mx+n與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）設(shè)拋物線y=x²+mx+n+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A、B不重合），且以AB為直徑的圓正好經(jīng)過該拋物線的頂點(diǎn)，求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的m、n的值．

Answer 1

解：（1）由題意得（-1）²+（-1）m+n+2=0，即n=m-3；

（2）∵一元二次方程x²+mx+n=0的判別式△=m²-4n，
由（1）得△=m²+4（m-3）=m²+4m+12=（m+2）²+8＞0，
∴一元二次方程x²+mx+n=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
∴拋物線y=x²+mx+n與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（3）由題意，x²+mx+m-1=0，
解此方程得x₁=1，x₂=1-m （m≠2），
∴AB=m-2（m＞2）或AB=2-m（m＜2），
∵y=x²+mx+n+2即y=x²+mx+m-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-，-），
又∵以AB為直徑的圓正好經(jīng)過該拋物線的頂點(diǎn)，
∴設(shè)頂點(diǎn)為M，則△ABM為等腰直角三角形，
∴可得當(dāng)m＞2時(shí)，有（m-2）=，解得m₁=2（舍），m₂=6，
當(dāng)m＜2時(shí)，有（2-m）=，解得m₃=2（舍），m₄=0，
綜上可知m=6或m=0，
∴或．
分析：（1）把x=-1直接代入一元二次方程x²+mx+n+2=0中即可得到n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用（1）的結(jié)論證明拋物線y=x²+mx+n的判別式是正數(shù)就可以了；
（3）首先求出方程x²+mx+m-1=0的兩根，然后用m表示AB的長(zhǎng)度，表示拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用以AB為直徑的圓正好經(jīng)過該拋物線的頂點(diǎn)可以得到關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，此題比較難，綜合性比較強(qiáng)，主要利用了拋物線與x軸交點(diǎn)情況與判別式的關(guān)系解決問題，也利用了圓的知識(shí)來確定待定系數(shù)．