Question

如圖：將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形EBGF，使A、B、G三點(diǎn)在同一直線上，連接DF．
（1）若點(diǎn)M是線段DF的中點(diǎn)，連接EM并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)H，試說(shuō)明EM=MH；
（2）若AB=2，AD=1．
①求線段DF長(zhǎng)；
②在直線AG上確定點(diǎn)P，使△PDF是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EFM=∠HDM，然后利用“角邊角”證明△EFM和△HDM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EM=MH；
（2）①延長(zhǎng)DC交FG于N，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小求出CN，然后求出FN、DN，再利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
②根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得點(diǎn)P與點(diǎn)B、G重合時(shí)，△PDF是等腰三角形；再以點(diǎn)F為頂角頂點(diǎn)時(shí)，利用勾股定理列式求出PG的長(zhǎng)，然后分點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊與右邊兩種情況解答．

解答：解：（1）∵矩形EBGF是矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴EF∥DC，
∴∠EFM=∠HDM，
∵點(diǎn)M是線段DF的中點(diǎn)，
∴DM=FM，
在△EFM和△HDM中，
∵

∠EFM=∠HDM DM=FM ∠EMF=∠HMD(對(duì)頂角相等)

，
∴△EFM≌△HDM（ASA），
∴EM=MH；

（2）①如圖，延長(zhǎng)DC交FG于N，
則CN=EF=AD=1，
所以，F(xiàn)N=2-1=1，
DN=2+1=3，
在Rt△DNF中，DF=

DN2+FN2

=

32+12

=

10

；

②由矩形的性質(zhì)可得，點(diǎn)P與點(diǎn)B、G重合時(shí)，△PDF是等腰三角形，
此時(shí)BP₁=0，BP₂=1，
以點(diǎn)F為頂角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)勾股定理，PG=

PF2-FG2

=

10 2-22

=

6

，
點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，BP₃=PG-BG=

6

-1，
點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，BP₄=PG+BG=

6

+1，
綜上所述，線段BP的長(zhǎng)為0或1或

6

-1或

6

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不是很大，△PDF是等腰三角形要根據(jù)腰長(zhǎng)的不同進(jìn)行分情況討論求解．