Question

【題目】如圖，直線y＝ax+b交x軸于點A，交y軸于點B，且a，b滿足a＝+4，直線y＝kx﹣4k過定點C，點D為直線y＝kx﹣4k上一點，∠DAB＝45°．

（1）a＝　 　，b＝　 　，C坐標為　 　；

（2）如圖1，k＝﹣1時，求點D的坐標；

（3）如圖2，在（2）的條件下，點M是直線y＝kx﹣4k上一點，連接AM，將AM繞A順時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，OQ最小值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）4；4；（4，0）；（2）D（，）；（3）2．

【解析】

（1）根據(jù)二次根式有意義的條件分別求出a、b，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點C的坐標
（2）分D在線段BC上、D在線段CB的延長線上兩種情況，證明△AOB≌△BFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)計算；
（3）證明△ANM≌△QHA，得到MN=AH=-m+4，AN=QH=m+1，根據(jù)勾股定理、二次根式的性質(zhì)解答即可．

解：（1）∵4-b≥0，b-4≥0，
∴b=4，
則a=4，

對于直線y=kx-4k，當y=0時，x=4，
∴點C的坐標為（4，0），
故答案為：4；4；（4，0）；
（2）當D在線段BC上時，作BE⊥BA交AD的延長線于點E，作EF⊥y軸于F，
則∠BEF+∠EBO=90°，∠ABO+∠EBO=90°，
∴∠BEF=∠ABO，
∵∠DAB=45°，
∴BA=BE，
在△AOB和△BFE中，
，
∴△AOB≌△BFE（AAS），
∴BF=OA，EF=OB=4，
對于直線y=4x+4，當y=0時，x=-1，
∴OA=1，
∴E（4，3）
設(shè)直線AE解析式為y=mx+n，
，
解得，，
則直線AE解析式為y=x+，
，
解得， ，

∴D（，）；
當D在CB延長線上時，同理可得D（）；
（3）設(shè)M（m，-m+4），
由（2）可得，△ANM≌△QHA，
∴MN=AH=-m+4，AN=QH=m+1，
∴Q（-m+3，-m-1）則OQ2=（-m+3）2+（-m-1）2=2（m-1）2+8，
當m=1時，OQ最小為2，
故答案為：2．