Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanB=，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，將△ABC繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，得到△DEA，且AE交CB于點(diǎn)P，那么線段CP的長(zhǎng)是__________．

Answer 1

．

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

【分析】連接PM，根據(jù)∠B的正切值設(shè)AC=3k，BC=4k，利用勾股定理列式求出k值，得到AC、BC的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AM=DM=EM，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠EAM=∠E，然后求出∠EAM=∠B，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得PM⊥AB，然后求出△ABC和△PMB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出PB的長(zhǎng)，再根據(jù)CP=BC﹣PB代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．

【解答】解：連接PM，∵tanB=，

∴設(shè)AC=3k，BC=4k，

則（3k）²+（4k）²=10²，

解得k=2，

∴AC=3×2=6，BC=4×2=8，

∵點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，△DEA是△ABC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)得到，

∴AM=MB=DM=EM=5，

∴∠EAM=∠E，

又∵∠B=∠E，

∴∠EAM=∠B，

∴△APB是等腰三角形，

∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

∴PM⊥AB，

∴△ABC∽△PMB，

∴=，

即=，

解得PB=，

∴CP=BC﹣PB=8﹣=．

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．