Question

已知正比例函數(shù)y₁=k₁x和一次函數(shù)y₂=k₂x+b的圖象交于點(diǎn)A（3，4），一次函數(shù)與y軸相交于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB是以O(shè)A為腰的等腰三角形．
（1）求正比例函數(shù)解析式；
（2）求一次函數(shù)解析式和△AOB面積．

Answer 1

考點(diǎn)：兩條直線相交或平行問題

專題：計(jì)算題

分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y₁=k₁x可計(jì)算出k₁=

4

3

，從而得到正比例函數(shù)解析式；
（2）先利用勾股定理計(jì)算出AB=5，再分類討論：當(dāng)OB=OA時(shí)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）或（0，-5），利用待定系數(shù)法求經(jīng)過B（0，5）和A（3，4）的一次函數(shù)解析式，然后計(jì)算S_△AOB；同樣求經(jīng)過點(diǎn)B（0，-5）和A（3，4）的一次函數(shù)解析式，計(jì)算S_△AOB；當(dāng)AB=AO時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），然后利用待定系數(shù)法求經(jīng)過B（0，8）和A（3，4）的一次函數(shù)解析式為y₂=-

4

3

x+8，再計(jì)算S_△AOB．

解答：解：（1）把A（3，4）代入y₁=k₁x得3k₁=4，解得k₁=

4

3

，
所以正比例函數(shù)解析式為y₁=

4

3

x；
（2）∵A（3，4），
∴OA=

32+42

=5，
當(dāng)OB=OA時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）或（0，-5），
把B（0，5）和A（3，4）代入y₂=k₂x+b得

b=5 3k2+b=4

，解得

k2=- 1 3 b=5

，此時(shí)一次函數(shù)解析式為y₂=-

1

3

x+5，S_△AOB=

1

2

×5×3=

15

2

；
把B（0，-5）和A（3，4）代入y₂=k₂x+b得

b=-5 3k2+b=4

，解得

k2=3 b=-5

，此時(shí)一次函數(shù)解析式為y₂=3x-5，S_△AOB=

1

2

×5×3=

15

2

；
當(dāng)AB=AO時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），
把B（0，8）和A（3，4）代入y₂=k₂x+b得

b=8 3k2+b=4

，解得

k2=- 4 3 b=8

，此時(shí)一次函數(shù)解析式為y₂=-

4

3

x+8，S_△AOB=

1

2

×8×3=12．

點(diǎn)評：本題要求利用圖象求解各問題，要認(rèn)真體會(huì)點(diǎn)的坐標(biāo)，一次函數(shù)與一元一次方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系．