Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），連接AC，BC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接PQ．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，△APQ可能是直角三角形嗎？請說明理由；

（3）點(diǎn)M在拋物線上，且△AOM的面積與△AOC的面積相等，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，△APQ不可能是直角三角形，理由詳見解析；（3）M（1，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．

【解析】

（1）判斷出拋物線的解析式中二次項(xiàng)系數(shù)，再利用交點(diǎn)式，即可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況：當(dāng)∠AQP＝90°，判斷出點(diǎn)P在y軸右側(cè)，不符合題意，當(dāng)∠APQ＝90°時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，建立方程求出t的值，而t大于4，也不符合題意，即可得出結(jié)論；

（3）先求出△AOC的面積，進(jìn)而得出△AOM的面積，進(jìn)而建立方程求解即可得出結(jié)論．

解：（1）∵二次函數(shù)y＝﹣ x2+bx+c過點(diǎn)A（﹣3，0），B（4，0），

∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+3）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；

（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，△APQ不可能是直角三角形，

理由：由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4，

∴C（0，4），

∵A（﹣3，0），B（4，0），

∴AC＝5，OA＝3，OC＝4，

由運(yùn)動(dòng)知，AP＝t，OQ＝t，

∴AQ＝3+t，（0＜t＜4）

∵∠OAP是Rt△AOC的一個(gè)銳角，

∵△APQ是直角三角形，

①當(dāng)∠AQP＝90°時(shí)，

∵∠AOC＝90°＝∠AQP，

∴PQ∥y軸，

∵點(diǎn)Q在OB上，

∴點(diǎn)P不可能在第二象限內(nèi)，此種情況不存在，

②當(dāng)∠APQ＝90°時(shí)，

∵∠AOC＝90°＝∠APQ，

∵∠PAQ＝∠OAC，

∴△AOC∽△APQ，

∴，

∴ ，

∴t＝ ，

∵0＜t＜4，

∴此種情況不符合題意，

即在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，△APQ不可能是直角三角形；

（3）由（2）知，OA＝3，OC＝4，

∴S△AOC＝OAOC＝6，

∵△AOM的面積與△AOC的面積相等，

∴S△AOM＝6，

設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m2+m+4），

∴S△AOM＝OA|﹣m2+m+4|＝|﹣m2+m+4|＝6，

∴m＝0（舍）或m＝1或 ，

∴M（1，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．