Question

已知關(guān)于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）求證：x₁+x₂=2（k-1），x1•x2=k2；
（3）求（x₁-1）•（x₂-1）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到△=[-2（k-1）]²-4×1×k²≥0，然后解不等式即可；
（2）利用求根公式得到x₁=k-1+

1-2k

，x₂=k-1-

1-2k

，然后分別計(jì)算x₁+x₂，x₁x₂的值即可；
（3）利用（2）中的結(jié)論得到（x₁-1）•（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=k²-2（k-1）+1，然后利用配方法確定代數(shù)式的最小值．

解答：（1）解：依題意得△=[-2（k-1）]²-4×1×k²≥0，
解得k≤

1

2

；

（2）證明：∵△=4-8k，
∴x=

2(k-1)± 4-8k

2

，
∴x₁=k-1+

1-2k

，x₂=k-1-

1-2k

∴x₁+x₂=k-1+

1-2k

+k-1-

1-2k

=2（k-1）；
x₁•x₂=（k-1+

1-2k

）（k-1-

1-2k

）=（k-1）²-（

1-2k

）²=k²；

（3）解：（x₁-1）•（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=k²-2（k-1）+1=（k-1）²+2，
∵（k-1）²≥0，
∴（k-1）²+2≥2，
∴（x₁-1）•（x₂-1）的最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判別式．