Question

（Ⅰ）如圖1，點(diǎn)P在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上，一直線過(guò)點(diǎn)P分別交BA，BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，S，交AD，CD于點(diǎn)R，T．求證：PQ•PR=PS•PT；
（Ⅱ）如圖2，圖3，當(dāng)點(diǎn)P在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD或DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，PQ•PR=PS•PT是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說(shuō)明理由（要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說(shuō)明）；
（Ⅲ）如圖4，ABCD為正方形，A，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)在同一條直線上，并且AE=6cm，EF=4cm，試以（Ⅰ）所得結(jié)論為依據(jù)，求線段FG的長(zhǎng)度．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD
∴∠1=∠2，∠Q=∠4．
∴△PBQ∽△PDT．
∴．
∵AD∥BS，
∴∠3=∠6，∠S=∠5．
∴△PBS∽△PDR．
∴．
∴．
∴PQ•PR=PS•PT．

（Ⅱ）解：PQ•PR=PS•PT仍然成立．
理由如下：
在△PQB中，
∵DT∥BQ，
∴．
在△PBS中，
∵DR∥BS，
∴．
∴
∴PQ•PR=PS•PT．

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）的結(jié)論可得，AE²=EF•EG，
∴6²=4EG，
∴EG=9．
∴FG=EG-EF=9-4=5（cm）．
所以，線段FG的長(zhǎng)是5cm．
分析：（1）本題要通過(guò)相似三角形來(lái)求解．已知了四邊形ABCD是平行四邊形，那么CD∥AB，可根據(jù)相似三角形DTP和BPA得出，同理可在相似三角形RPD和SPB中得出類(lèi)似的結(jié)論，將中間值替換即可得出本題所求的結(jié)論．
（2）圖2，3同（1）完全一樣．均是通過(guò)兩組不同的相似三角形來(lái)得出兩組對(duì)應(yīng)線段成比例，然后將相等的項(xiàng)進(jìn)行替換即可得出所證的結(jié)論．
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論可知：AE²=EF•EG，據(jù)此可求出EG的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出FG的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)．通過(guò)相似三角形得出與所求相關(guān)的線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．