Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上．
（1）求過(guò)點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的直線解析式；
（2）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)△ABC周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)△ABC是以AB為底的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得B′點(diǎn)，根據(jù)線段的性質(zhì)，可得AB′，根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值；
（3）根據(jù)等腰三角形的判定，可得AC=BC，根據(jù)解方程，可得C點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)AB的解析式為y=kx+b，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4）和（3，0），得

2k+b=4① 3k+b=0②

，解得

k=-4 b=12

，
AB兩點(diǎn)的直線解析式y(tǒng)=-4x+12；
（2）如圖1：
，
作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，交y軸于C點(diǎn)，
B′點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3，0），
設(shè)AB′的函數(shù)解析式為y=kx+b，圖象經(jīng)過(guò)（-3，0），（2，4），得

-3k+b=0 2k+b=4

，
解得

k= 4 5 b= 12 5

．
AB′的函數(shù)解析式為y=

4

5

x+

12

5

，
自變量的值為零時(shí)，y=

12

5

當(dāng)△ABC周長(zhǎng)最小時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

12

5

）；
（3）圖2：
，
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a），當(dāng)△ABC是以AB為底的等腰三角形時(shí)，BC=AC，平方，得
BC²=AC²，2²+（4-a）²=3²+a²，
化簡(jiǎn)，得8a=11，
解得a=

11

8

，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，

11

8

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用了線段垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短；（3）利用了等腰三角形的判定．