【題目】已知,點(diǎn)O在線段AB上,AB=6,OC為射線,且BOC=45°.動(dòng)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā),沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒.

(1)如圖1,若AO=2.

當(dāng) t=6秒時(shí),則OP= ,SABP=

當(dāng)ABP與PBO相似時(shí),求t的值;

(2)如圖2,若點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn),當(dāng)AP=AB時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AQBP,并使得QOP=B,求AQBP的值.

【答案】(1)6;t=+4;(2)18.

【解析】

試題分析:(1)如圖1中,作PEAB于E.求出PE的長(zhǎng),根據(jù)SAPB=ABPE,即可計(jì)算.

如圖1中,過(guò)點(diǎn)B作OC的垂線,垂足為H,由ABP∽△PBO,得,即PB2=BOBA=24,推出BP=,再利用勾股定理求出OH、HP即可解決問(wèn)題.

(2)如圖中,作OEAP,交BP于點(diǎn)E.由QAO∽△OEP,得,即AQEP=EOAO,由三角形中位線定理得OE=3,推出AQEP=9,由此即可解決問(wèn)題.

試題解析:(1)如圖1中,作PEAB于E.

在RtOPE中,OP=6,POE=45°,

PE=OPsin45°=3,

SAPB=ABPE=9,

如圖1中,過(guò)點(diǎn)B作OC的垂線,垂足為H,

∵△ABP∽△PBO,

,

PB2=BOBA=24,

BP=

在RtOHB中,∵∠BOH=45°,OB=4,

OH=HB=

在RtPHB中,PH==4

OP=+4,

t=+4(秒)時(shí),ABP∽△PBO.

(2)如圖中,作OEAP,交BP于點(diǎn)E.

AP=AB,

∴∠APB=B,

∴∠OEB=APB=B,

AQBP,

∴∠QAB+B=180°.

∵∠OEP+OEB=180°,

∴∠OEP=QAB,

∵∠AOC=2+B=1+QOP,

∵∠B=QOP,

∴∠AOQ=OPE,

∴△QAO∽△OEP,

,即AQEP=EOAO,

由三角形中位線定理得OE=3,

AQEP=9,

AQBP=AQ2EP=2AQEP=18.

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