【題目】如圖,正方形ABCD的邊長是6,點EF分別是邊ADAB的點,APBE于點P.

(1)如圖①,當(dāng)AE=2AF=BF時,若點T是射線PF上的一個動點(T不與點P重合),當(dāng)△ABT是直角三角形時,求AT的長.

(2)如圖②,當(dāng)AE=AF時,連結(jié)CP,判斷CPPF的位置關(guān)系,并加以證明.

【答案】(1)AT33;(2)CPPF,證明見解析.

【解析】

1)解RtBAE,求出∠ABE30°,然后分三種情況進行討論:①當(dāng)點TAB的上方,∠ATB90°時,點T和點P重合,不符合題意;②當(dāng)點TAB的下方,∠ATB90°時,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得TFBFAF3,而∠BFT60°,那么FTB是等邊三角形,TB3,再根據(jù)勾股定理求出AT; ③當(dāng)點TAB的下方,∠ABT90°時,解直角三角形求出BT,然后在RtATB中利用勾股定理求出AT;

2)先證明∠1=∠3=∠4,由tan1,tan3,得出,等量代換得到,然后可證明PBC∽△PAF,得出∠5=∠6,進而可得∠5+∠790°,即∠CPF90°,那么CPPF

解:(1)在正方形ABCD中,可得∠DAB90°,

∵在RtBAE中,tanABE,

∴∠ABE30°,

T是射線PF上的一個動點,當(dāng)ABT為直角三角形時,分三種情況:

①當(dāng)點TAB的上方,∠ATB90°,

此時點T和點P重合,與題意不符;

②當(dāng)點TAB的下方,∠ATB90°,

如圖所示,在RtAPB中,由AFBF,可得:AFBFPF3,

∴∠BPF=∠FBP30°,

∴∠BFT60°,

RtATB中,TFBFAF3,

∴△FTB是等邊三角形,

TB3,AT

③當(dāng)點TAB的下方,∠ABT90°時,

如圖所示,在RtFBT中,∠BFT60°,BF3,BTBFtan60°

RtATB中:AT,

綜上所述:當(dāng)ABT為直角三角形時,AT的長為

2CPPF,

證明:如圖所示,∵四邊形ABCD是正方形,

ABADBCADBC,∠DAB90°,

∴∠3=∠4,

∵在RtEAB中,APBE,

∴∠1+∠290°,∠3+∠290°,

∴∠1=∠3,

∴∠1=∠3=∠4,

tan1,tan3,

,

AEAF,ABBC,

∴△PBC∽△PAF,

∴∠5=∠6

∵∠6+∠790°,

∴∠5+∠790°,即∠CPF90°,

CPPF

練習(xí)冊系列答案
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