【題目】如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,有AB為斜邊的等腰直角三角形ABC,其中點A(0,2),點C(﹣1,0),拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過B點.
(1)求B點的坐標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)在拋物線上是否存在點N(點B除外),使得△ACN仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求點N的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(﹣3,1) (2)y=x2+x﹣2 (3)見解析
【解析】
(1)根據(jù)題意,過點B作BD⊥x軸,垂足為D;根據(jù)角的互余的關(guān)系,易得B到x、y軸的距離,即B的坐標;
(2)根據(jù)拋物線過B點的坐標,可得a的值,進而可得其解析式;
(3)首先假設(shè)存在,分A、C是直角頂點兩種情況討論,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),可得答案.
解:(1)過點B作BD⊥x軸,垂足為D.
∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,
∴∠BCD=∠CAO,
又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,
∴△BCD≌△CAO,
∴BD=OC=1,CD=OA=2,
∴點B的坐標為(﹣3,1);
(2)拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過點B(﹣3,1),
則得到1=9a﹣3a﹣2,
解得a=,
所以拋物線的解析式為y=x2+x﹣2;
(3)假設(shè)存在點N,使得△ACN仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形:
①若以點C為直角頂點;
則延長BC至點N1,使得N1C=BC,得到等腰直角三角形△ACN1,
過點N1作N1M⊥x軸,
∵CN1=BC,∠MCN1=∠BCD,∠N1MC=∠BDC=90°,
∴△MN1C≌△DBC.
∴CM=CD=2,N1M=BD=1,可求得點N1(1,﹣1);
②若以點A為直角頂點;
則過點A作AN2⊥CA,且使得AN2=AC,得到等腰直角三角形△ACN2,
過點N2作N2P⊥y軸,同理可證△AN2P≌△CAO,
∴NP2=OA=2,AP=OC=1,可求得點N2(2,1),
③以A為直角頂點的等腰Rt△ACN的頂點N有兩種情況.即過點A作直線L⊥AC,在直線L上截取AN=AC時,點N可能在y軸右側(cè),即現(xiàn)在解答情況②的點N2;
點N也可能在y軸左側(cè),即還有第③種情況的點N3.因此,然后過N3作N3G⊥y軸于G,同理:△AGN3≌△CAO,
∴GN3=OA=2,AG=OC=1,
∴N3(﹣2,3);
經(jīng)檢驗,點N1(1,﹣1)與點N2(2,1)都在拋物線y=x2+x﹣2上,點N32,3)不在拋物線上.
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【題目】如圖,Rt△AOB∽Rt△DOC,∠ABO=30°,∠AOB=∠COD=90°,M為OA的中點,OA=6,將△COD繞點O旋轉(zhuǎn)一周,直線AD,CB交于點P,連接MP,則MP的最小值是( 。
A.6﹣3B.6-6C.3D.
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【題目】科學(xué)研究發(fā)現(xiàn),海平面大氣壓約是100千帕,它隨海拔升高而降低,海拔3000米以下,每升高100米,氣壓下降約1千帕:3000﹣5000米每升高100米,氣壓下降約0.8千帕設(shè)山的海拔高度為x米,相應(yīng)的大氣壓為y千帕.
(1)當0<x<3000時,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)周末,小明和小伙伴登山(山峰海拔小于5000米)游玩,在山頂測得大氣壓為63.6千帕,則該山峰海拔約為多少米?
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線N過A(﹣1,3),B(4,8),O(0,0)三點
(1)求該拋物線和直線AB的解析式.
(2)平移拋物線N,求同時滿足以下兩個條件的平移后的拋物線解析式:①平移后拋物線的頂點在直線AB上;②設(shè)平移后拋物線與y軸交于點C,如果S△ABC=3S△ABO.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線C1:y1=(x+3)2﹣,將拋物線C1 向右平移3個單位、再向上平移4.5個單位得拋物線C2,則圖中陰影部分的面積為________.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長是6,點E、F分別是邊AD、AB的點,AP⊥BE于點P.
(1)如圖①,當AE=2且AF=BF時,若點T是射線PF上的一個動點(點T不與點P重合),當△ABT是直角三角形時,求AT的長.
(2)如圖②,當AE=AF時,連結(jié)CP,判斷CP與PF的位置關(guān)系,并加以證明.
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【題目】“宜居襄陽”是我們的共同愿景,空氣質(zhì)量備受人們關(guān)注.我市某空氣質(zhì)量監(jiān)測站點檢測了該區(qū)域每天的空氣質(zhì)量情況,統(tǒng)計了2013年1月份至4月份若干天的空氣質(zhì)量情況,并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)統(tǒng)計圖共統(tǒng)計了 天的空氣質(zhì)量情況;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;空氣質(zhì)量為“優(yōu)”所在扇形的圓心角度數(shù)是 ;
(3)從小源所在環(huán)保興趣小組4名同學(xué)(2名男同學(xué),2名女同學(xué))中,隨機選取兩名同學(xué)去該空氣質(zhì)量監(jiān)測站點參觀,則恰好選到一名男同學(xué)和一名女同學(xué)的概率是 .
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【題目】在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-3,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求這個二次函數(shù)的關(guān)系解析式;
(2)點P是直線AC上方的拋物線上一動點,是否存在點P,使△ACP的面積最大?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由;
考生注意:下面的(3)、(4)、(5)題為三選一的選做題,即只能選做其中一個題目,多答時只按作答的首題評分,切記!
(3)在平面直角坐標系中,是否存在點Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由;
(4)點Q是直線AC上方的拋物線上一動點,過點Q作QE垂直于x軸,垂足為E.是否存在點Q,使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由;
(5)點M為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點Q,使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果把函數(shù)y=x2(x≤2)的圖象和函數(shù)y=的圖象組成一個圖象,并稱作圖象E,那么直線y=3與圖象E的交點有_____個;若直線y=m(m為常數(shù))與圖象E有三個不同的交點,則常數(shù)m的取值范圍是_____.
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