Question

已知：如圖，在?EFGH中，點F的坐標是（-2，-1），∠EFG=45°．
（1）求點H的坐標；
（2）拋物線C₁經(jīng)過點E、G、H，現(xiàn)將C₁向左平移使之經(jīng)過點F，得到拋物線C₂，求拋物線C₂的解析式；
（3）若拋物線C₂與y軸交于點A，點P在拋物線C₂的對稱軸上運動．請問：是否存在以AG為腰的等腰三角形AGP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵在?ABCD中
∴EH=FG=2，G（0，-1）即OG=1
∵∠EFG=45°
∴在Rt△HOG中，∠EHG=45°
可得OH=1
∴H（1，0）

（2）∵OE=EH-OH=1
∴E（-1，0），
設拋物線C₁解析式為y₁=ax²+bx+c
∴代入E、G、H三點，
∴a=1，b=0，c=-1
∴y₁=x²-1
依題意得，點F為頂點，
∴過F點的拋物線C₂解析式是y₂=（x+2）²-1

（3）∵拋物線C₂與y軸交于點A
∴A（0，3），∴AG=4
情況1：AP=AG=4
過點A作AB⊥對稱軸于B
∴AB=2
在Rt△PAB中，BP=
∴P₁（-2，3+）或P₂（-2，3-）
情況2：PG=AG=4
同理可得：P₃（-2，-1+）或P₄（-2，-1-）
∴P點坐標為（-2，3+）
或（-2，3-）或（-2，-1+）或（-2，-1-）．
分析：（1）因為四邊形EFGH是平行四邊形，點F的坐標是（-2，-1），∠EFG=45°，所以可得點H的坐標；
（2）設拋物線C₁解析式為y₁=ax²+bx+c，把E、G、H三點的坐標分別代入拋物線C₁解析式，題意得，點F為頂點，所以可求出拋物線C₂的解析式；
（3）先求出AG=4，再分情況對問題進行討論，情況1：AP=AG=4；情況2：PG=AG=4，可求出點P的坐標．
點評：主要考查了點的坐標、直線解析式、拋物線解析式的求法，涉及解直角三角形的知識和平行四邊形的性質(zhì)的運用，以及分類討論的數(shù)學思想．