【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線與x軸交于A、D兩點,與y軸交于點B,四邊形OBCD是矩形,點A的坐標為(1,0),點D的坐標為(﹣3,0),點B的坐標為(0,4),已知點E(m,0)是線段DO上的動點,過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P,交BC于點G,交BD于點H.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)當點P在直線BC上方時,請用含m的代數(shù)式表示PG的長度;
(3)在(2)的條件下,是否存在這樣的點P,使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似?若存在,求出此時m的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:設拋物線解析式為y=a(x﹣1)(x+3),
把B(0,4)代入得a(﹣1)3=4,解得a=﹣ ,
所以拋物線解析式為y=﹣ (x﹣1)(x+3),
即y=﹣ x2﹣ x+4
(2)
解:當y=4時,﹣ x2﹣ x+4=4,解得x1=0,x2=﹣2,
∴﹣2<m<0,
∵E(m,0),PE⊥x軸,
∴P(m,﹣ m2﹣ m+4),
而BC∥x軸,
∴G(m,4),
∴PG=﹣ m2﹣ m+4﹣4=﹣ m2﹣ m(﹣2<m<0)
(3)
解:∵HE∥OB,
∴△DEH∽△DOB,
∵∠PGB=∠DOB,
∴當 = 時,△PGB∽△BOD,則△PGB∽△HED,
即 = ,整理得m2+m=0,解得m1=0(舍去),m2=﹣1,
當 = 時,△PGB∽△DOB,則△PGB∽△DEH,
即 = ,整理得16m2+23m=0,解得m1=0(舍去),m2=﹣ ,
綜上所述,在(2)的條件下,存在點P,使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似,此時m的值為﹣1或﹣
【解析】(1)設交點式y(tǒng)=a(x﹣1)(x+3),然后把B點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式;(2)先解方程﹣ x2﹣ x+4=4,解得x1=0,x2=﹣2,則﹣2<m<0,設P(m,﹣ m2﹣ m+4),G(m,4),則可用m表示PG;(3)易得△DEH∽△DOB,則判定△PGB與△BOD,由于∠PGB=∠DOB,根據(jù)相似三角形的判定方法,當 = 時,△PGB∽△BOD,則△PGB∽△HED,當 = 時,△PGB∽△DOB,則△PGB∽△DEH,然后分別利用相似比列關于m的方程,再解方程求出m,從而得到滿足條件的m的值.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,AB為直徑,點C為圓上一點,將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D,連結CD.若點D與圓心O不重合,∠BAC=25°,則∠DCA的度數(shù)為度.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學為籌備校慶活動,準備印制一批校慶紀念冊,該紀念冊每冊需要10張8K大小的紙,其中4張為彩色頁,6張為黑白頁.印制該紀念冊的總費用由制版費和印刷費兩部分組成,制版費與印數(shù)無關,價格為:彩色頁300元/張,黑白頁50元/張;印刷費與印數(shù)的關系見表.
印數(shù)a。▎挝唬呵裕 | 1≤a<5 | 5≤a<10 |
彩色。▎挝唬涸/張) | 2.2 | 2.0 |
黑白(單位:元/張) | 0.7 | 0.6 |
(1)直接寫出印制這批紀念冊的制版費為多少元;
(2)若印制6千冊,那么共需多少費用?
(3)如印制x(1≤x<10)千冊,所需費用為y元,請寫出y與x之間的關系式.
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【題目】我們知道,一元二次方程x2=﹣1沒有實數(shù)根,即不存在一個實數(shù)的平方等于﹣1.若我們規(guī)定一個新數(shù)“i”,使其滿足i2=﹣1(即方程x2=﹣1有一個根為i).并且進一步規(guī)定:一切實數(shù)可以與新數(shù)進行四則運算,且原有運算律和運算法則仍然成立,于是有i1=i,i2=﹣1,i3=i2i=﹣i,i4=(i2)2=(﹣1)2=1,從而對于任意正整數(shù)n,我們可以得到i4n+1=i4ni=i,同理可得i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1.
計算:(1)i.i2.i3.i4
(2)i+i2+i3+i4+…+i2017+i2018.
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【題目】給下面命題的說理過程填寫依據(jù).
已知:如圖,直線AB,CD相交于點O,EO⊥CD,垂足為O,OF平分∠BOD,對∠EOF=∠BOC說明理由.
理由:因為∠AOC=∠BOD( ),
∠BOF=∠BOD( ),
所以∠BOF=∠AOC( ).
因為∠AOC=180°-∠BOC( ),
所以∠BOF=90°-∠BOC.
因為EO⊥CD( ),
所以∠COE=90°( )
因為∠BOE+∠COE=∠BOC( ),
所以∠BOE=∠BOC-∠COE.
所以∠BOE=∠BOC-90°( )
因為∠EOF=∠BOE+∠BOF( )
所以∠EOF=(∠BOC-90°)+(90°∠BOC)( )
所以∠EOF=∠BOC.
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【題目】如圖是一個用硬紙板制作的長方體包裝盒展開圖,已知它的底面形狀是正方形,高為12cm.
(1)制作這樣的包裝盒需要多少平方厘米的硬紙板?
(2)若1平方米硬紙板價格為5元,則制作10個這的包裝盒需花費多少錢?(不考慮邊角損耗)
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【題目】已知函數(shù)y=2x-4
(1)畫出函數(shù)的圖象;
(2)判斷點A(1,-2),B(2,1)是否在該函數(shù)的圖象上.
(3)已知點A(-2,b)在該函數(shù)圖像上,求b值;
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與反比例y= (k為常數(shù),且k≠0)的圖象交于A(1,a),B兩點.
(1)求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標;
(2)在x軸上找一點P,使PA+PB的值最小,求滿足條件的點P的坐標.
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