【題目】如圖,在△ABC中,DBC邊上的一點,EAD的中點,過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F,且AF=BD,連接BF

1BDCD有什么數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時,四邊形AFBD是矩形?并說明理由.

【答案】解:(1BD=CD。理由如下:

∵AF∥BC∴∠AFE=∠DCE。

∵EAD的中點,∴AE=DE。

△AEF△DEC中,∠AFE=∠DCE,∠AEF=∠DEC,AE=DE,

∴△AEF≌△DECAAS)。∴AF=CD。

∵AF=BD∴BD=CD。

2)當(dāng)△ABC滿足:AB=AC時,四邊形AFBD是矩形。理由如下:

∵AF∥BD,AF=BD,四邊形AFBD是平行四邊形。

∵AB=ACBD=CD,∴∠ADB=90°。

AFBD是矩形。

【解析】

試題(1)根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等求出∠AFE=∠DCE,然后利用角角邊證明△AEF△DEC全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=CD,再利用等量代換即可得證;

2)先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形,再根據(jù)一個角是直角的平行四邊形是矩形,可知∠ADB=90°,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC

試題解析:(1BD=CD

理由如下:依題意得AF∥BC,

∴∠AFE=∠DCE

∵EAD的中點,

∴AE=DE,

△AEF△DEC中,

,

∴△AEF≌△DECAAS),

∴AF=CD,

∵AF=BD,

∴BD=CD

2)當(dāng)△ABC滿足:AB=AC時,四邊形AFBD是矩形.

理由如下:∵AF∥BD,AF=BD,

四邊形AFBD是平行四邊形,

∵AB=ACBD=CD(三線合一),

∴∠ADB=90°,

∴AFBD是矩形.

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