Question

長為2，寬為a的矩形紙片（1＜a＜2），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當(dāng)n=3時，a的值為

 

．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬．當(dāng)1＜a＜2時，矩形的長為2，寬為a，所以第一次操作時所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為2-a，a．由2-a＜a可知，第二次操作時所得正方形的邊長為2-a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為2-a，a-（2-a）=2a-2．由于（2-a）-（2a-2）=4-3a，所以（2-a）與（2a-2）的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進(jìn)行討論．又因為可以進(jìn)行三次操作，故分兩種情況：①2-a＞2a-2；②2-a＜2a-2．對于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據(jù)剩下的矩形為正方形，列出方程，求出a的值．

解答：解：由圖可知，第一次操作后剩下的矩形長為：原矩形的長-原矩形的寬，即為：2-a
∵第二次操作后剩下的矩形的邊長分別為：2-a，2a-2，
∴面積為：（2-a）（2a-2）=-2a²+6a-4，
②當(dāng)2-a＞2a-2，a＜

4

3

時，2-a=2（2a-2），
 解得：a=

6

5

；
當(dāng)2-a＜2a-2，a＞

4

3

時，2（2-a）=2a-2，
解得：a=

3

2

；
綜合得a=

6

5

或

3

2

．
故答案為：a=

6

5

或

3

2

．

點評：本題考查了翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)以及正方形、矩形的面積公式以及分類討論思想在幾何題目中的運用．