【題目】小華同學(xué)對圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.
(一)猜測探究
在△ABC中,AB=AC,M是平面內(nèi)任意一點(diǎn),將線段AM繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)與∠BAC相等的角度,得到線段AN,連接NB.
(1)如圖1,若M是線段BC上的任意一點(diǎn),請直接寫出∠NAB與∠MAC的數(shù)量關(guān)系是_______,NB與MC的數(shù)量關(guān)系是_______;
(2)如圖2,點(diǎn)E是AB延長線上點(diǎn),若M是∠CBE內(nèi)部射線BD上任意一點(diǎn),連接MC,(1)中結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給予證明,若不成立,請說明理由。
(二)拓展應(yīng)用
如圖3,在△A1B1C1中,A1B1=8,∠A1B1C1=90°,∠C1=30°,P是B1C1上的任意點(diǎn),連接A1P,將A1P繞點(diǎn)A1按順時針方向旅轉(zhuǎn)60°,得到線段A1Q,連接B1Q.求線段B1Q長度的最小值.
【答案】(一)(1)∠NAB=∠MAC,BN=MC;(2)成立,理由見解析;(二)QB1的最小值為4-4
【解析】
(一)(1)由旋轉(zhuǎn)知,AM=AN,∠BAC=∠NAM,進(jìn)而得出∠MAC=∠NAB,判斷出△CAM≌△BAN,即可得出結(jié)論;
(2)由旋轉(zhuǎn)知,AM=AN,∠BAC=∠NAM,進(jìn)而得出∠MAC=∠NAB,判斷出△CAM≌△BAN,即可得出結(jié)論;
(二)如圖3中,在A1 C1上截取A1N= A1 B1,連接PN,作NH⊥B1C1于H,作A1M⊥B1C1于M.理由全等三角形的性質(zhì)證明B1Q=PN,推出當(dāng)PN的值最小時,Q B1的值最小,求出HN的值即可解決問題.
解:(一)(1)結(jié)論:∠NAB=∠MAC,BN=MC.
理由:如圖1中,
∵∠MAN=∠CAB,
∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC,
∴∠NAB=∠MAC,
∵AB=AC,AN=AM,
∴△NAB≌△MAC(SAS),
∴BN=CM.
故答案為:∠NAB=∠MAC,BN=CM,
(2)(1)中結(jié)論仍然成立,
理由:由旋轉(zhuǎn)知,AM=AN,∠BAC=∠NAM,
∴∠BAC-∠BAM=∠NAM-∠BAM,
即:∠MAC=∠NAB,
∵AB=AC,
∴△CAM≌△BAN(SAS),
∴MC=NB;
(二)如圖3中,在A1 C1上截取A1N= A1 B1,連接PN,作NH⊥B1 C1于H,作A1M⊥B1C1于M.
∵∠C1A B1=∠P A1Q,
∴∠Q A1 B1=∠P A1 N,
∵A1A= A1P,A1 B1=AN,
∴△Q A1 B1≌△P A1N(SAS),
∴B1Q=PN,
∴當(dāng)PN的值最小時,Q B1的值最小,
在Rt△A1 B1M中,∵∠A1 B1M=60°,A1 B1=8,
∴A1M= A1 B1sin60°=4,
∵∠M A1 C1=∠B1 A1 C1-∠B1 A1M=75°-30°=45°,
∴A1 C1=4,
∴N C1= A1 C1- A1N=4-8,
在Rt△NH C1,∵∠C1=45°,
∴NH=4-4,
根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)點(diǎn)P與H重合時,PN的值最小,
∴Q B1的最小值為4-4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在等邊△ABC中,點(diǎn)D.E分別在邊BC,AB上,且BD=AE,AD與CE交于點(diǎn)F.
(1)求證:AD=CE
(2)求∠DFC的度數(shù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校決定在4月7日開展“世界無煙日”宣傳活動,活動有A社區(qū)板報、B集會演講、C喇叭廣播、D發(fā)宣傳畫四種宣傳方式.學(xué)校圍繞“你最喜歡的宣傳方式是什么?”,在全校學(xué)生中進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查四個選項中必選且只選一項,根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果,繪制了兩種不完整的統(tǒng)計圖表.
選項 | 方式 | 百分比 |
A | 社區(qū)板報 | m |
B | 集會演講 | 30% |
C | 喇叭廣播 | 25% |
D | 發(fā)宣傳畫 | 10% |
請結(jié)合統(tǒng)計圖表,回答下列問題:
(1)本次抽查的學(xué)生共 人,m= ,并將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(2)若該校學(xué)生有900人,請你估計該校喜歡“集會演講”這項宣傳方式的學(xué)生約有多少人?
(3)學(xué)校采用抽簽方式讓每班在A、B、C、D四種宣傳方式中隨機(jī)抽取兩種進(jìn)行展示.請用樹狀圖或列表法求某班所抽到的兩種方式恰好是“集會演講”和“喇叭廣播”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明想了解全校3000名同學(xué)對新聞、體育、音樂、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛況,從中抽取了一部分同學(xué)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查,利用所得數(shù)據(jù)繪制成下面的統(tǒng)計圖:根據(jù)圖中所給信息,全校喜歡娛樂類節(jié)目的學(xué)生大約有( )人.
A. 1080 B. 900 C. 600 D. 108
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小張騎自行車勻速從甲地到乙地,在途中因故停留了一段時間后,仍按原速騎行,小李騎摩托車比小張晚出發(fā)一段時間,以800米/分的速度勻速從乙地到甲地,兩人距離乙地的路程y(米)與小張出發(fā)后的時間x(分)之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)求小張騎自行車的速度;
(2)求小張停留后再出發(fā)時y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(3)求小張與小李相遇時x的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某日,正在我國南海海域作業(yè)的一艘大型漁船突然發(fā)生險情,相關(guān)部門接到求救信號后,立即調(diào)遣一架直升飛機(jī)和一艘剛在南海巡航的漁政船前往救援.當(dāng)飛機(jī)到達(dá)距離海面3000米的高空C處,測得A處漁政船的俯角為60°,測得B處發(fā)生險情漁船的俯角為30°,請問:此時漁政船和漁船相距多遠(yuǎn)?(結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 在正方形ABCD中.
(1)如圖1,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,AE、BF相交于點(diǎn)O,∠AOB=90°,試判斷AE與BF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖2,點(diǎn)E、F、G、H分別在邊BC、CD、DA、AB上,EG、FH相交于點(diǎn)O,∠GOH=90°,且EG=7,求FH的長;
(3)如圖3,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,AE、BF相交于點(diǎn)O,∠AOB=90°,若AB=5,圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為4:5,求△ABO的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一面靠墻(墻的最大可用長度為8 m)的空地上用長為24 m的籬笆圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃.設(shè)花圃的寬AB為x m,面積為S m2.
(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍;
(2)求所圍成花圃的最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】4件同型號的產(chǎn)品中,有1件不合格品和3件合格品.
(1)從這4件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測,求抽到的是不合格品的概率;
(2)從這4件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行檢測,求抽到的都是合格品的概率;
(3)在這4件產(chǎn)品中加入x件合格品后,進(jìn)行如下試驗(yàn):隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測,然后放回,多次重復(fù)這個試驗(yàn),通過大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn),抽到合格品的頻率穩(wěn)定在0.95,則可以推算出x的值大約是多少?
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