Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，矩形ABCO，B點坐標為（4，3），拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經(jīng)過矩形ABCO的頂點B、C，D為BC的中點，直線AD與y軸交于E點，與拋物線y=-

1

2

x²+bx+c交于第四象限的F點．
（1）求該拋物線解析式與F點坐標；
（2）如圖（2），動點P從點C出發(fā)，沿線段CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；同時，動點M從點A出發(fā)，沿線段AE以每秒

13

2

個單位長度的速度向終點E運動．過點P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設(shè)點P的運動時間為t秒．
①問EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果沒有，請說明理由．
②若△PMH是等腰三角形，請直接寫出此時t的值．

Answer 1

（1）∵矩形ABCO，B點坐標為（4，3）
∴C點坐標為（0，3）
∵拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經(jīng)過矩形ABCO的頂點B、C，
∴

c=3 -8+4b+c=3

，
解得：

c=3 b=2

，
∴該拋物線解析式y(tǒng)=-

1

2

x²+2x+3，
設(shè)直線AD的解析式為y=k₁x+b₁
∵A（4，0）、D（2，3），
∴

4k1+b1=0 2k1+b1=3

∴

k1=- 3 2 b1=6

，
∴y=-

3

2

x+6，
聯(lián)立

y=- 3 2 x+6 y=- 1 2 x2+2x+3

，
∵F點在第四象限，
∴F（6，-3）；
（2）①∵E（0，6），∴CE=CO，（如圖（1）），
連接CF交x軸于H′，過H′作BC的垂線交BC于P′，當P
運動到P′，當H運動到H′時，EP+PH+HF的值最小．
設(shè)直線CF的解析式為y=k₂x+b₂
∵C（0，3）、F（6，-3），
∴

b2=3 6k2+b2=-3

，
解得：

k2=-1 b2=3

，
∴y=-x+3
當y=0時，x=3，
∴H′（3，0），
∴CP=3，∴t=3；
②如圖1過M作MN⊥OA交OA于N，
∵△AMN∽△AEO，
∴

AM

AE

=

AN

AO

=

MN

EO

，
∴

13 2 t

2 13

=

AN

4

=

MN

6

，
∴AN=t，MN=

3

2

t，
I如圖3，當PM=HM時，M在PH的垂直平分線上，
∴MN=

1

2

PH，
∴MN=

3

2

t=

3

2

，
∴t=1；
II如圖2，當PM=HP時，MH=3，MN=

3

2

t，
HN=OA-AN-OH=4-2t在Rt△HMN中，MN²+HN²=MH²，
∴(

3

2

t)2+(4-2t)2=32，
即25t²-64t+28=0，
解得：t₁=2（舍去），t2=

14

25

；
III如圖4，當PH=PM時，
∵PM=3，MT=|3-

3

2

t|，PT=BC-CP-BT=|4-2t|，
∴在Rt△PMT中，MT²+PT²=PM²，
即(3-

3

2

t)2+(4-2t)2=32，
∴25t²-100t+64=0，
解得：t1=

16

5

，t2=

4

5

綜上所述：t=

14

25

，

4

5

，1，

16

5

．