Question

【題目】已知：AB為⊙O的直徑，C、D為心⊙O上的點(diǎn)，C是優(yōu)弧AD的中點(diǎn)，CE⊥DB交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．

（1）如圖1，判斷直線(xiàn)CE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（2）如圖2，若tan∠BCE＝，連BC、CD，求cos∠BCD的值．

Answer 1

【答案】（1）直線(xiàn)CE與⊙O相切，理由詳見(jiàn)解析；（2）cos∠BCD＝．

【解析】

（1）如圖，作輔助線(xiàn)；運(yùn)用圓周角定理及其推論證明∠OCE＝90°，即可解決問(wèn)題．

（2）首先運(yùn)用切割線(xiàn)定理求出ED的長(zhǎng)度；證明四邊形CEDF為矩形，得到CF＝DE；證明OF為△ABD的中位線(xiàn)；求出AF、OF的長(zhǎng)度；進(jìn)而求出OA的長(zhǎng)度，即可解決問(wèn)題．

解：（1）直線(xiàn)CE與⊙O相切，理由如下：

如圖，連接AC，CD，BC、AD、CO，延長(zhǎng)CO交AD于點(diǎn)F；

則∠CBE＝∠CAD；而C是優(yōu)弧ACD的中點(diǎn)，

∴，

∴∠CBA＝∠CDA＝∠CAD，

而∠CBE＝∠CAD，∠CBA＝∠OCB，

∴∠CBE＝∠OCB；而CE⊥BE，

∴∠ECB+∠CBE＝∠ECB+∠OCB＝90°，即，

∴OC⊥CE，

即CE為⊙O的切線(xiàn)；

（2）∵tan∠BCE＝，

設(shè)BE＝4k，CE＝5k，

∵CE為⊙O的切線(xiàn)，

∴CE2＝EBED，

∴ED＝k，BD＝k；

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，而∠E＝∠OCE＝90°，

∴四邊形CEDF為矩形，

∴OF⊥AD，AF＝DF＝CE＝5k，

∴OF為△ABD的中位線(xiàn)，

∴OF＝BD＝k；由勾股定理得：OA＝＝k，

∴cos∠BAD＝＝＝，

而∠BCD＝∠BAD，

∴cos∠BCD＝．