Question

如圖所示，長方形ABCD中，E是AD上一點，F(xiàn)是AB上一點，EF=EC，且EF⊥EC，DE=2cm，長方形ABCD的周長為16cm，
（1）求證：△AEF≌△DCE；
（2）求AE及CF的長．

Answer 1

分析：（1）求出∠A=∠B=90°，∠AFE=∠DEC，根據(jù)AAS證明兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF=DE=2cm，AE=CD=AB，根據(jù)矩形性質(zhì)得出AD=BC，AB=CD，推出2AB+2=8，求出AB，根據(jù)勾股定理求出CE、EF，根據(jù)勾股定理求出CF即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是長方形，
∴∠A=∠B=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
在△AEF和△DCE中

∠A=∠D ∠AFE=∠DEC EF=EC

，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．

（2）解：∵長方形ABCD的周長為16cm，
∴AD=BC，AB=CD，
∴2AD+2AB=16cm，
AD+AB=AD+CD=8cm，
∵DE=2cm，△AEF≌△DCE，
∴AF=DE=2cm，AE=CD=AB，
∴AD+AB=AE+DE+AB=AB+2cm+AB=8cm，
∴AB=3cm=CD=AE，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：CE=

22+32

=

13

=EF，
在Rt△FEC中，由勾股定理得：CF=

( 13 )2+( 13 )2

=

26

（cm），
即AE=3cm，CF=

26

cm．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的綜合運用，主要考查學(xué)生的推理能力和計算能力．