Question

【題目】在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED＝EC．

(1)（觀察猜想）當(dāng)點(diǎn)E在AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，觀察猜想得到線段AE與DB的大小關(guān)系是　 　；

(2)（探究證明）當(dāng)點(diǎn)E不是AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，上述結(jié)論是否成立，如果成立，請(qǐng)寫出解答過程，如果不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)（拓展延伸）在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED＝EC，若△ABC的邊長為2，AE＝1，求CD的長(請(qǐng)直接寫出結(jié)果)．

Answer 1

【答案】(1)AE＝DB；(2)AE＝DB，理由見解析；(3)CD線段 的長度是3或1．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；

（2）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD＝EF即可；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論計(jì)算即可．

(1)如圖1，∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，

∴∠ACB＝60°，∠BEC＝90°，AE＝BE，

又∵ED＝EC，

∴∠D＝∠ECB＝30°，

∴∠DEC＝120°，

∴∠DEB＝120°﹣90°＝30°，

∴∠D＝∠DEB＝30°，

∴BD＝BE＝AE，即AE＝DB．

故答案為：AE＝DB．

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB上任意一點(diǎn)時(shí)，AE＝DB．理由如下：

如圖2，過E作EF∥BC交AC于F，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，

∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE＝EF＝AF，

∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，

∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，

∵DE＝EC，

∴∠D＝∠ECD，

∴∠BED＝∠ECF，

在△DEB和△ECF中，

∴△DEB≌△ECF(AAS)，

∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD，

(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，CD＝BC+BD＝BC+AE＝2+1＝3．

當(dāng)點(diǎn)E不在線段AB上時(shí)，CD＝BC﹣AE＝2﹣1＝1．

綜上所述，CD線段的長度是3或1．