Question

（2013•門頭溝區(qū)二模）已知：在△AOB與△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．

（1）如圖1，點C、D分別在邊OA、OB上，連結AD、BC，點M為線段BC的中點，連結OM，則線段AD與OM之間的數(shù)量關系是

AD=2OM

，位置關系是

AD⊥OM

；
（2）如圖2，將圖1中的△COD繞點O逆時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜90°）．連結AD、BC，點M為線段BC的中點，連結OM．請你判斷（1）中的兩個結論是否仍然成立．若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，將圖1中的△COD繞點O逆時針旋轉到使△COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時，點C落在OB上，點M為線段BC的中點．請你判斷（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）AD與OM之間的數(shù)量關系為AD=2OM，位置關系是AD⊥OM；
（2）（1）中的兩個結論仍然成立，理由為：如圖2所示，延長BO到F，使FO=BO，連接CF，由M、O分別為BC、BF的中點，得到OM為三角形BCF的中位線，利用中位線定理得到FC=2OM，利用SAS得到三角形AOD與三角形FOC全等，利用全等三角形的對應邊相等得到FC=AD，等量代換得到AD=2OM；由OM為三角形BCF的中位線，利用中位線定理得到OM與CF平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠BOM=∠F，由全等三角形的對應角相等得到∠F=∠OAD，等量代換得到∠BOM=∠OAD，根據(jù)∠BOM與∠AOM互余，得到∠OAD與∠AOM互余，即可確定出OM與AD垂直，得證；
（3）（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關系沒有發(fā)生變化，理由為：如圖3所示，延長DC交AB于E，連結ME，過點E作EN⊥AD于N，由三角形COD與三角形AOB都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質得到四個角為45度，進而得到三角形MCE與三角形AED為等腰直角三角形，根據(jù)EN為直角三角形ADE斜邊上的中線得到AD=2EN，再利用三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OMEN為矩形，可得出EN=OM，等量代換得到AD=2OM．

解答：
解：（1）線段AD與OM之間的數(shù)量關系是AD=2OM，位置關系是AD⊥OM；


（2）（1）的兩個結論仍然成立，理由為：
證明：如圖2，延長BO到F，使FO=BO，連結CF，
∵M為BC中點，O為BF中點，
∴MO為△BCF的中位線，
∴FC=2OM，
∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠BOD=∠AOF+∠AOC，即∠AOD=∠FOC，
在△AOD和△FOC中，

OA=OF ∠AOD=∠FOC OC=OD

，
∴△AOD≌△FOC（SAS），
∴FC=AD，
∴AD=2OM，
∵MO為△BCF的中位線，
∴MO∥CF，
∴∠MOB=∠F，
又∵△AOD≌△FOC，
∴∠DAO=∠F，
∵∠MOB+∠AOM=90°，
∴∠DAO+∠AOM=90°，即AD⊥OM；


（3）（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關系沒有發(fā)生變化，理由為：
證明：如圖3，延長DC交AB于E，連結ME，過點E作EN⊥AD于N，
∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°，
∴AE=DE，BE=CE，∠AED=90°，
∴DN=AN，
∴AD=2NE，
∵M為BC的中點，
∴EM⊥BC，
∴四邊形ONEM是矩形．
∴NE=OM，
∴AD=2OM．
故答案為：AD=2OM；AD⊥OM．

點評：此題考查了幾何變換綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，三角形的中位線定理，是一道多知識點探究性試題．