Question

【題目】如圖，在△ABC中，M、N分別是BC與EF的中點，CF⊥AB，BE⊥AC．

（1）求證：MN⊥EF；

（2）連接FM、EM，若，試判斷△FEM的形狀．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△FEM是等邊三角形．

【解析】

（1）連接ME、MF，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MF=ME=BC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；

（2）根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BMF+∠CME，然后求出∠EMF=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定方法解答即可．

（1）如圖，連接MF、ME．

∵MF、ME分別為Rt△FBC是和Rt△EBC斜邊上的中線，∴MF=ME=BC．

在△MEF中，∵MF=ME，點N是EF的中點，∴MN⊥EF．

（2）∵ME=MF=BM=CM，∴∠MBA=∠MFB，∠MEC=∠MCE，∴∠BMF+∠CME=180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB=360°﹣2（∠ABC+∠ACB）．

∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣60°=120°，∴∠BMF+∠CME=360°﹣2×120°=120°，∴∠EMF=60°，∴△MFE是等邊三角形．