Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接BD，點(diǎn)P是線(xiàn)段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線(xiàn)，垂足為E，連接BE．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PBE的面積為s，求s與x的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)s取得最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x的垂線(xiàn)，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線(xiàn)EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，請(qǐng)直接寫(xiě)出P′點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P′是否在該拋物線(xiàn)上．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，可以運(yùn)用交點(diǎn)式法求得拋物線(xiàn)的解析式．再根據(jù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)公式求得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)B，D的坐標(biāo)運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)BD的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式以及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式得到s與x之間的函數(shù)關(guān)系式．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)即x的值位于點(diǎn)D和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)之間．根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可分析其最值；
（3）根據(jù)（2）中的坐標(biāo)得點(diǎn)E和點(diǎn)C重合．過(guò)P′作P′H⊥y軸于H，P′F交y軸于點(diǎn)M．要求P′H和OH的長(zhǎng)．P′H的長(zhǎng)可以運(yùn)用直角三角形P′CM的面積進(jìn)行計(jì)算．設(shè)MC=m，則MF=m，P′M=3-m，P′E=

3

2

．根據(jù)勾股定理列方程求解，得到直角三角形P′CM的三邊后，再根據(jù)直角三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．要求OH的長(zhǎng)，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)，只需根據(jù)勾股定理進(jìn)一步求得CH的長(zhǎng)即可．把求得的點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式即可判斷點(diǎn)P′是否在該拋物線(xiàn)上．

解答：解：（1）設(shè)y=a（x+1）（x-3），（1分）
把C（0，3）代入，得a=-1，（2分）
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x²+2x+3．（4分）
頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．（5分）

（2）設(shè)直線(xiàn)BD解析式為：y=kx+b（k≠0），把B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，
得

3k+b=0 k+b=4

，（6分）
解得k=-2，b=6．
∴直線(xiàn)BD解析式為y=-2x+6．（7分）
s=

1

2

PE•OE=

1

2

xy=

1

2

x（-2x+6）=-x²+3x，（8分）
∴s=-x²+3x（1＜x＜3）（9分）
s=-（x²-3x+

9

4

）+

9

4

=-（x-

3

2

）²+

9

4

．（10分）
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，s取得最大值，最大值為

9

4

．（11分）

（3）當(dāng)s取得最大值，x=

3

2

，y=3，
∴P(

3

2

，3)．（5分）
∴四邊形PEOF是矩形．
作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連接P′E、P′F．
法一：過(guò)P′作P′H⊥y軸于H，P′F交y軸于點(diǎn)M．
設(shè)MC=m，∵CO∥PF，
∴∠2=∠PFC，
由對(duì)稱(chēng)可知∠PFC=∠P′FC，
∴∠2=∠P′FC，
則MF=MC=m，P′M=3-m，P′E=

3

2

．
在Rt△P′MC中，由勾股定理，(

3

2

)2+(3-m)2=m2．
解得m=

15

8

．
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H=

9

10

．
由△EHP′∽△EP′M，可得

EH

EP′

=

EP′

EM

，EH=

6

5

．
∴OH=3-

6

5

=

9

5

．
∴P′坐標(biāo)(-

9

10

，

9

5

)．（13分）
法二：連接PP′，交CF于點(diǎn)H，分別過(guò)點(diǎn)H、P′作PC的垂線(xiàn)，垂足為M、N．
易證△CMH∽△HMP．
∴

CM

MH

=

MH

PM

=

1

2

．
設(shè)CM=k，則MH=2k，PM=4k．
∴PC=5k=

3

2

，k=

3

10

．
由三角形中位線(xiàn)定理，PN=8k=

12

5

，P′N(xiāo)=4k=

6

5

．
∴CN=PN-PC=

12

5

-

3

2

=

9

10

，即x=-

9

10

．
y=PF-P′N(xiāo)=3-

6

5

=

9

5

∴P′坐標(biāo)（-

9

10

，

9

5

）．（13分）
把P′坐標(biāo)（-

9

10

，

9

5

）代入拋物線(xiàn)解析式，不成立，所以P′不在拋物線(xiàn)上．（14分）

點(diǎn)評(píng)：能夠熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；能夠根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得函數(shù)的最值；能夠熟練運(yùn)用幾何知識(shí)，如勾股定理、相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，注意數(shù)形結(jié)合的思想．