Question

數(shù)軸上兩點間的距離等于這兩點所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值．例：如圖所示，點A、B在數(shù)軸上分別對應(yīng)的數(shù)為a、b，則A、B兩點間的距離表示為|AB|=|a-b|．

根據(jù)以上知識解題：
（1）若數(shù)軸上兩點A、B表示的數(shù)為x、-1，
①A、B之間的距離可用含x的式子表示為

 

； 
②若該兩點之間的距離為2，那么x值為

 

．
（2）|x+1|+|x-2|的最小值為

 

，此時x的取值是

 

；
（3）已知（|x+1|+|x-2|）（|y-3|+|y+2|）=15，求x-2y的最大值

 

和最小值

 

．

Answer 1

考點：絕對值,數(shù)軸

專題：

分析：（1）①根據(jù)題目已知中的A、B兩點間的距離表示為|AB|=|a-b|．即可解答；
②使①中的式子等于2，解出即可；
（2）求|x+1|+|x-2|的最小值，由線段的性質(zhì)，兩點之間，線段最短，可知當-1≤x≤2時，|x+1|+|x-2|有最小值，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求出最小值及x的取值；
（3）由于（|x+1|+|x-2|）（|y-3|+|y+2|）=15=3×5，可知-1≤x≤2，-2≤y≤3，依此得到x-2y的最大值和最小值．

解答：解：（1）①A、B之間的距離可用含x的式子表示為|x+1|； 
②依題意有
|x+1|=2，
x+1=-2或x+1=2，
解得x=-3或x=1．
故x值為-3或1．
（2）|x+1|+|x-2|的最小值為3，此時x的取值是-1≤x≤2；
（3）∵（|x+1|+|x-2|）（|y-3|+|y+2|）=15，
∴-1≤x≤2，-2≤y≤3，
∴x-2y的最大值為2-2×（-2）=6，最小值為-1-2×3=-7．
故x-2y的最大值6，最小值-7．
故答案為：|x+1|；-3或1；3，-1≤x≤2；6，-7．

點評：考查了絕對值和數(shù)軸，借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題．這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時可以帶來方便．事實上，|A-B|表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點之間的距離．這是一個很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識解決了（2）（3）這兩道難題．