如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,拋物線與x軸相交于O、B,頂點為A,連接OA.

(1)求點A的坐標和∠AOB的度數(shù);
(2)若將拋物線向右平移4個單位,再向下平移2個單位,得到拋物線m,其頂點為點C.連接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′.試判斷其形狀,并說明理由;
(3)在(2)的情況下,判斷點C′是否在拋物線上,請說明理由;
(4)若點P為x軸上的一個動點,試探究在拋物線m上是否存在點Q,使以點O、P、C、Q為頂點的四邊形是平行四邊形,且OC為該四邊形的一條邊?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

(1)點A的坐標為(﹣2,﹣2),∠AOB=45°。
(2)四邊形ACOC′為菱形。理由見解析
(3)點C′不在拋物線上。理由見解析
(4)存在符合條件的點Q。點Q的坐標為(6,4)。

解析試題分析:(1)由得,y=(x﹣2)2﹣2,故可得出拋物線的頂點A的坐標,過點A作AD⊥x軸,垂足為D,由∠ADO=90°可知點D的坐標,故可得出OD=AD,由此即可得出結(jié)論。
∵由得,y=(x﹣2)2﹣2,
∴拋物線的頂點A的坐標為(﹣2,﹣2)。
如圖1,過點A作AD⊥x軸,垂足為D,∴∠ADO=90°。
∵點A的坐標為(﹣2,﹣2),點D的坐標為(﹣2,0),
∴OD=AD=2!唷螦OB=45°。
(2)由題意可知拋物線m的二次項系數(shù)為,由此可得拋物線m的解析式過點C作CE⊥x軸,垂足為E;過點A作AF⊥CE,垂足為F,與y軸交與點H,根據(jù)勾股定理可求出OC的長,同理可得AC的長,OC=AC,
由翻折的軸對稱性的性質(zhì)可知,OC=AC=OC′=AC′,由此即可得出結(jié)論。
四邊形ACOC′為菱形。理由如下:
由題意可知拋物線m的二次項系數(shù)為,且過頂點C的坐標是(2,﹣4),
∴拋物線m的解析式為:y=(x﹣2)2﹣4,即y=x2﹣2x﹣2。
如圖,過點C作CE⊥x軸,垂足為E;過點A作AF⊥CE,垂足為F,與y軸交與點H,

∴OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE﹣EF=2。
。
同理,AC=。
∴OC=AC。
由翻折的軸對稱性的性質(zhì)可知,OC=AC=OC′=AC′,
∴四邊形ACOC′為菱形。
(3)過點C′作C′G⊥x軸,垂足為G,由于OC和OC′關于OA對稱,∠AOB=∠AOH=45°,故可得出∠COH=∠C′OG,再根據(jù)CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG,根據(jù)全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO,故可得出點C′的坐標把x=﹣4代入拋物線進行檢驗即可得出結(jié)論。
點C′不在拋物線上。理由如下:
如圖,過點C′作C′G⊥x軸,垂足為G,

∵OC和OC′關于OA對稱,∠AOB=∠AOH=45°,∴∠COH=∠C′OG。
∵CE∥OH,∴∠OCE=∠C′OG。
又∵∠CEO=∠C′GO=90°,OC=OC′,∴△CEO≌△C′GO!郞G=4,C′G=2。
∴點C′的坐標為(﹣4,2)。
把x=﹣4代入拋物線得y=0。
∴點C′不在拋物線上。
(4)∵點P為x軸上的一個動點,點Q在拋物線m上,

∴設Q(a,)。
∵OC為該四邊形的一條邊,∴OP為對角線。
∴CQ的中點在x上。
∵C的坐標是(2,﹣4),
,解得a1=6,a 2=﹣2。
∴Q(6,4)或(﹣2,4)(Q、O、C在一直線上,舍去)。
∴點Q的坐標為(6,4)。

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如圖,已知拋物線的圖象與x軸的一個交點為B(5,0),另一個交點為A,且與y軸交于點C(0,5)。

(1)求直線BC與拋物線的解析式;
(2)若點M是拋物線在x軸下方圖象上的動點,過點M作MN∥y軸交直線BC于點N,求MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,MN取得最大值時,若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點,以BC為邊作平行四邊形CBPQ,設平行四邊形CBPQ的面積為S1,△ABN的面積為S2,且S1=6S2,求點P的坐標。

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如圖,已知拋物線經(jīng)過A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原點O,頂點為C

(1)求拋物線的函數(shù)解析式.
(2)設點D在拋物線上,點E在拋物線的對稱軸上,且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形,求點D的坐標.
(3)P是拋物線上第一象限內(nèi)的動點,過點P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在點P,使得以P,M,A為頂點的三角形與△BOC相似?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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如圖,已知拋物線與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;
(2)設拋物線的頂點為D,在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)點M是拋物線上一點,以B,C,D,M為頂點的四邊形是直角梯形,試求出點M的坐標.

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銅仁市某電解金屬錳廠從今年1月起安裝使用回收凈化設備(安裝時間不計),這樣既改善了環(huán)境,又降低了原料成本,根據(jù)統(tǒng)計,在使用回收凈化設備后的1至x月的利潤的月平均值w(萬元)滿足w=10x+90.
(1)設使用回收凈化設備后的1至x月的利潤和為y,請寫出y與x的函數(shù)關系式.
(2)請問前多少個月的利潤和等于1620萬元?

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如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點C(0,4),對稱軸x=2與x軸交于點D,頂點為M,且DM=OC+OD.

(1)求該拋物線的解析式;
(2)設點P(x,y)是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個動點,△PCD的面積為S,求S關于x的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若經(jīng)過點P的直線PE與y軸交于點E,是否存在以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等?若存在,請求出直線PE的解析式;若不存在,請說明理由.

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如圖,已知拋物線(a>0)與x軸交于點B、C,與y軸交于點E,且點B在點C的左側(cè).

(1)若拋物線過點M(﹣2,﹣2),求實數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,解答下列問題;
①求出△BCE的面積;
②在拋物線的對稱軸上找一點H,使CH+EH的值最小,直接寫出點H的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,拋物線經(jīng)過△ABC的三個頂點,點A坐標為(0,3),點B坐標為(2,3),點C在x軸的正半軸上.
(1)求該拋物線的函數(shù)關系表達式及點C的坐標;
(2)點E為線段OC上一動點,以OE為邊在第一象限內(nèi)作正方形OEFG,當正方形的頂點F恰好落在線段AC上時,求線段OE的長;
(3)將(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG,當點E和點C重合時停止運動.設平移的距離為t,正方形DEFG的邊EF與AC交于點M,DG所在的直線與AC交于點N,連接DM,是否存在這樣的t,使△DMN是等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由;
(4)在上述平移過程中,當正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時,請直接寫出重疊部分的面積S與平移距離t的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍;并求出當t為何值時,S有最大值,最大值是多少?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:單選題

已知函數(shù)y=的圖象如圖,以下結(jié)論:
①m<0;
②在每個分支上y隨x的增大而增大;
③若點A(﹣1,a)、點B(2,b)在圖象上,則a<b;
④若點P(x,y)在圖象上,則點P1(﹣x,﹣y)也在圖象上.
其中正確的個數(shù)是( 。

A.4個 B.3個 C.2個 D.1個

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