如圖,已知拋物線經(jīng)過A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原點(diǎn)O,頂點(diǎn)為C

(1)求拋物線的函數(shù)解析式.
(2)設(shè)點(diǎn)D在拋物線上,點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上,且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)P是拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在點(diǎn)P,使得以P,M,A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
將點(diǎn)A(﹣2,0),B(﹣3,3),O(0,0),代入可得:
,解得:
∴函數(shù)解析式為:y=x2+2x。
(2)當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí),DE∥AO,DE=AO,由A(﹣2,0)知:DE=AO=2,
若D在對(duì)稱軸直線x=﹣1左側(cè),則D橫坐標(biāo)為﹣3,代入拋物線解析式得D1(﹣3,3);
若D在對(duì)稱軸直線x=﹣1右側(cè),則D橫坐標(biāo)為1,代入拋物線解析式得D2(1,3)。
綜上所述,點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(﹣3,3)或(1,3)。
(3)存在。
如圖:∵B(﹣3,3),C(﹣1,﹣1),

根據(jù)勾股定理得:BO2=18,CO2=2,BC2=20
∴BO2+CO2=BC2!唷鰾OC是直角三角形。
假設(shè)存在點(diǎn)P,使以P,M,A為頂點(diǎn)的 三角形與△BOC相似,設(shè)P(x,y),由題意知x>0,y>0,且y=x2+2x,
①若△AMP∽△BOC,則,即。
∴x+2=3(x2+2x),解得:x1=,x2=﹣2(舍去)。
當(dāng)x=時(shí),y=,即P(,)。
②若△PMA∽△BOC,則,即
∴x2+2x=3(x+2),解得:x1=3,x2=﹣2(舍去)。
當(dāng)x=3時(shí),y=15,即P(3,15)。
∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè),分別是P(,)或(3,15)。

解析試題分析:(1)由于拋物線經(jīng)過A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原點(diǎn)O,待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。
(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),對(duì)邊平行且相等,可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。
(3)分兩種情況討論,①△AMP∽△BOC,②PMA∽△BOC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖1,已知拋物線C經(jīng)過原點(diǎn),對(duì)稱軸與拋物線相交于第三象限的點(diǎn)M,與x軸相交于點(diǎn)N,且。

(1)求拋物線C的解析式;
(2)將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)1800得到拋物線,拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A,B為拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)。
①若P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),PD⊥y軸于點(diǎn)D,求△APD面積的最大值;
②過線段OA上的兩點(diǎn)E、F分別作x軸的垂線,交折線O-B-A于E1、F1,再分別以線段EE1、FF1為邊作如圖2所示的等邊△AE1E2、等邊△AF1F2,點(diǎn)E以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),當(dāng)△AE1E2有一邊與△AF1F2的某一邊在同一直線上時(shí),求時(shí)間t的值。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知:關(guān)于x的二次函數(shù)(a>0),點(diǎn)A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)y1=y2,請(qǐng)說明a必為奇數(shù);
(2)設(shè)a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值;
(3)對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)a,是否存在n,使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代數(shù)式表示);如果不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知△OAB的頂點(diǎn)A(﹣6,0),B(0,2),O是坐標(biāo)原點(diǎn),將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ODC.

(1)寫出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求過A,D,C三點(diǎn)的拋物線的解析式,并求此拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)證明AB⊥BE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知:一元二次方程
(1)求證:不論k為何實(shí)數(shù)時(shí),此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;
(2)設(shè)k<0,當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B間的距離為4時(shí),求此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)的條件下,若拋物線的頂點(diǎn)為C,過y軸上一點(diǎn)M(0,m)作y軸的垂線l,當(dāng)m為何值時(shí),直線l與△ABC的外接圓有公共點(diǎn)?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的玩具,購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查:在一段時(shí)間內(nèi),銷售單價(jià)是40元時(shí),銷售量是600件,而銷售單價(jià)每漲1元,就會(huì)少售出10件玩具.
(1)不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元(x>40),請(qǐng)你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得利潤(rùn)w元,并把結(jié)果填寫在表格中:

銷售單價(jià)(元)
x
銷售量y(件)
    
銷售玩具獲得利潤(rùn)w(元)
    
(2)在(1)問條件下,若商場(chǎng)獲得了10000元銷售利潤(rùn),求該玩具銷售單價(jià)x應(yīng)定為多少元.
(3)在(1)問條件下,若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元,且商場(chǎng)要完成不少于540件的銷售任務(wù),求商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(2013年四川攀枝花12分)如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3,0),B(1.0),C(0,﹣3).

(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),設(shè)△PAC的面積為S,求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,DE⊥x軸于點(diǎn)E,在y軸上是否存在點(diǎn)M,使得△ADM是直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線與x軸相交于O、B,頂點(diǎn)為A,連接OA.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)和∠AOB的度數(shù);
(2)若將拋物線向右平移4個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,得到拋物線m,其頂點(diǎn)為點(diǎn)C.連接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四邊形ACOC′.試判斷其形狀,并說明理由;
(3)在(2)的情況下,判斷點(diǎn)C′是否在拋物線上,請(qǐng)說明理由;
(4)若點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試探究在拋物線m上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)O、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,且OC為該四邊形的一條邊?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),與x軸正半軸相交于點(diǎn)D,與y軸相交于點(diǎn)C,設(shè)△OCD的面積為S,且
(1)求b的值;
(2)求證:點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上;
(3)求證:。

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