Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)在拋物線上，

∴，解得。

∴拋物線的解析式為：。

（2）∵，∴其對(duì)稱軸為直線x=2。

連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，），

∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

，解得：。

∴直線BC的解析式為。

當(dāng)x=2時(shí)，，

∴P（2，）。

（3）存在。

如圖2所示，

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，C（0，），

∴N1（4，）。

②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，

如圖2，過(guò)點(diǎn)N作ND⊥x軸于點(diǎn)D，

在△AND與△MCO中，，

∴△AND≌△MCO（ASA）。

∴ND=OC=，即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。

∴，解得或。

∴N2（，），N3（，）．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，），（，）或（，）

【解析】

試題本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識(shí)，在解答（3）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)代入求出a、b、c的值即可；（2）因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），連接BC交對(duì)稱軸直線于點(diǎn)P，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）分點(diǎn)N在x軸下方或上方兩種情況進(jìn)行討論．

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)在拋物線上，∴，解得．∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣；

（2）∵拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣，∴其對(duì)稱軸為直線x=﹣=﹣=2，連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣），∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直線BC的解析式為y=x﹣，當(dāng)x=2時(shí)，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；

（3）存在．如圖2所示，

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；

②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)N2作N2D⊥x軸于點(diǎn)D，在△AN2D與△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．∴x2﹣2x﹣=，

解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為N1（4，﹣），N2（2+，）或N3（2﹣，）．