Question

如圖，P是⊙O外一點，PAB、PCD分別與⊙O分別交于A、B、C、D四點．PO平分∠BPD；
求證：AB=CD．

Answer 1

證明：
過O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F，連接OA，OC，
∵PO平分∠BPD，OE⊥PB，OF⊥PD，
∴OE=OF，∠OEA=∠OFC=90°，
在Rt△AOE和Rt△COF中，

∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL），
∴AE=CF，
∵OE⊥PB，OF⊥PD，
∴由垂徑定理得：AB=2AE，CD=2CF，
∴AB=CD．
分析：過O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F，連接OA，OC，由角平分線性質(zhì)求出OE=OF，根據(jù)HL證Rt△AOE≌Rt△COF，推出AE=CF，根據(jù)垂徑定理即可求出AB=CD．
點評：本題考查了角平分線性質(zhì)，垂徑定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是正確作輔助線后求出AE=CF．