【題目】已知,點E在正方形邊上(不與點B,C重合),是對角線,延長到點F,使,過點E的垂線,垂足為G,連接,

1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形,并證明;

2用等式表示線段的數(shù)量關(guān)系,并證明;

用等式表示線段,,之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【答案】(1)見解析;(2);②.

【解析】

(1)補(bǔ)全圖形后,如下圖所示,證明△EGC為等腰三角形即可;

(2)①連接GFGD,證明△BGE≌△FGC,得到GF=GB,再證明△ABG≌△ADG,得到GD=GF,進(jìn)一步得到△DGF為等腰直角三角形,進(jìn)而得到;

②連接AE,證明△ABE≌△DCF,得到DF=AE,在RtAEG中由勾股定理得到,進(jìn)而得到.

解:(1)補(bǔ)全圖形如下所示:

證明:∵四邊形ABCD為正方形,AC是對角線

∴∠GCE=45°

EGAC

∴∠EGC=90°

∴∠GEC=GCE=45°

∴△GEC為等腰直角三角形

GC=GE.

(2)①連接GFGD,如下圖所示:

(1)知:∠GEB=180°-GEC=180°-45°=135°,∠GCF=180°-GCE=180°-45°=135°

∴∠GEB=GCF

在△GBE和△GCF

,∴△GBE≌△GCF(SAS)

GF=GB,且∠3=4

在△ABG和△ADG

,∴△ABG≌△ADG(SAS)

GB=GD,∠1=2

GF=GD,△GDF為等腰三角形

又∠2+4=90°

∴∠1+3=90°,即∠DGF=90°

∴△GDF為等腰直角三角形

.

故答案為:.

②連接AE,如下圖所示:

在△ABEDCF

,∴ABEDCF(SAS)

又由①中知:

RtAGE中,由勾股定理:,將上述等式代入:

故有

即:.

故線段,之間的數(shù)量關(guān)系為:.

故答案為:.

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