Question

【題目】如圖①，若直線交軸于點、交軸于點，將繞點逆時針旋轉得到．過點，，的拋物線．

求拋物線的表達式；

若與軸平行的直線以秒鐘一個單位長的速度從軸向左平移，交線段于點、交拋物線于點，求線段的最大值；

如圖②，點為拋物線的頂點，點是拋物線在第二象限的上一動點（不與點、重合），連接，以為邊作圖示一側的正方形．隨著點的運動，正方形的大小、位置也隨之改變，當頂點或恰好落在軸上時，直接寫出對應的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，最大，最大值為；（3）滿足要求的點坐標有三個，分別為：、、．

【解析】

(1)先由直線l的解析式得出A、B的坐標，再根據(jù)旋轉的性質得出D點坐標，然后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;

(2)設出N點橫坐標，縱坐標用橫坐示表示,同時表示出M點坐標，而MN的長度為N點與M點的縱坐標之差，得出MN的長度是N點橫坐標的二次函數(shù)，利用配方法求出最值;

(3)顯然分G點在y軸上和F點在y軸上兩大情況，根據(jù)每種情況列方程進行求解.

∵直線交軸于點、交軸于點，

∴，，

∵將繞點逆時針旋轉得到，

∴，，

設過點，，的拋物線的解析式為：，

將點坐標代入可得：，

∴，

∴拋物線的解析式為；

∵，，

∴直線的解析式為，

設點坐標為，

則點坐標為，

∴，

∴當時，最大，最大值為；

若點在軸上，如圖，

作軸于，交拋物線對稱軸于，

在和中，

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

設，則：

，

，

∴，

∴，

∴點的坐標為；

若點在軸上，如圖，作拋物線對稱軸于，拋物線對稱軸于，

則，

∴，

∴，

∴，

∴或（舍），

∴點的坐標為，

綜上所述，滿足要求的點坐標有三個，分別為：、、．