Question

【題目】閱讀下列材料：

數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一個問題：

如圖，菱形和四邊形，，連接，，.

求證：；

某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過思考，交流了自己的想法：

小明：“通過觀察分析，發(fā)現(xiàn)與存在某種數(shù)量關(guān)系”；

小強：“通過觀察分析，發(fā)現(xiàn)圖中有等腰三角形”；

小偉：“利用等腰三角形的性質(zhì)就可以推導(dǎo)出”.

……

老師：“將原題中的條件‘’與結(jié)論‘’互換，即若，則，其它條件不變，即可得到一個新命題”.

……

請回答：

（1）在圖中找出與線段相關(guān)的等腰三角形（找出一個即可），并說明理由；

（2）求證：；

（3）若，則是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）先利用菱形的性質(zhì)，得出是等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)，即可解答

（2）設(shè)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，由（1）可知，即可解答

（3）連接，在上取點，使，延長至，使，連接，連接，設(shè)與的交點為，首先證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出是等邊三角形，然后再證明，即可解答

（1）是等腰三角形；

證明：∵四邊形是菱形，∴，

∵，∴是等邊三角形，

∴.

∵，∴，

∴是等腰三角形.

（2）設(shè).

∵四邊形是菱形，∴，

∴.

由（1）知，，同理可得：.

∴，

∴，∴，

∴.

∴.

（3）成立；

證明：如圖2，連接，在上取點，使，延長至，使，連接，連接，設(shè)與的交點為.

∵，，∴.

∵，

∴（ASA），

∴，，

∴，∴.

∵，

∵，∵，∴是等邊三角形，

∴.

∵，

∵，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴，

∵，

∴.