Question

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：
如（a）圖，若點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最�。�
做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小．
做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為_(kāi)_____．
（2）實(shí)踐運(yùn)用：
如（c）圖，已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是

AD

的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
（3）拓展延伸：
如（d）圖，在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出作法．

Answer 1

（1）BP+PE的最小值=

BC2-BE2

=

22-12

=

3

．

（2）作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，交CD于點(diǎn)P，連接OA′，AA′，OB．
∵點(diǎn)A與A′關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，∠AOD的度數(shù)為60°，
∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，
∵點(diǎn)B是

AD

的中點(diǎn)，
∴∠BOD=30°，
∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，
∵⊙O的直徑CD為4，
∴OA=OA′=2，
∴A′B=2

2

．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2

2

．

（3）如圖d：首先過(guò)點(diǎn)B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，
連接DB′并延長(zhǎng)交AC于P．
（由AC是BB′的垂直平分線，可得∠APB=∠APD）．