Question

如圖所示，AE、BD是△ABM的高，AE、BD交于點(diǎn)C，且AE=BE，BD平分∠ABM．
（1）求證：BC=2AD；
（2）求證：AB=AE+CE；
（3）求∠MDE．

Answer 1

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）判斷出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠EAB=∠EBA=45°，根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD=∠MBD=22.5°，再求出∠MAE=22.5°，然后求出∠MAB=∠M=∠BCE=67.5°，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD=MD，利用“角角邊”證明△AME和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=BC，即可得證；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ME=CE，再根據(jù)BM=BE+ME，等量代換即可得證；
（3）根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解．

解答：證明：（1）∵AE是△ABM的高，AE=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∵BD平分∠ABM，
∴∠ABD=∠MBD=22.5°，
∵BD是△ABM的高，
∴∠MAE=∠MBD=22.5°，
∴∠MAB=∠M=∠BCE=67.5°，
∴AB=BM，
∵BD平分∠ABM，
∴AD=MD，
在△AME和△BCE中，

∠MBD=∠MAE=22.5° ∠M=∠BCE=67.5° AE=BE

，
∴△AME≌△BCE（AAS），
∴AM=BC，
∴BC=AM=2AD，
即BC=2AD；

（2）∵△AME≌△BCE，
∴ME=CE，
∵BM=BE+ME，
∴AB=AE+CE；

（3）解：∵DE=AD=MD，
∴∠MDE=180°-2×67.5°=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角從而判斷出等腰三角形和三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．