【題目】定義:我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(1)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請(qǐng)說明理由.
(2)性質(zhì)探究:
①如圖1,垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想,并給出證明.
②如圖3,在Rt△ABC中,點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn),分別以AB,AC為底邊,在外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,連接FD,FE,分別交AB,AC于點(diǎn)M,N.試猜想四邊形FMAN的形狀,并說明理由;
(3)問題解決:
如圖4,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE、BG,GE,已知AC=2,AB=5.求GE的長(zhǎng)度.
【答案】(1)四邊形ABCD是垂美四邊形,證明見解析 (2)①,證明見解析;②四邊形FMAN是矩形,證明見解析 (3)
【解析】
(1)根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可;
(2)①根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可;②根據(jù)在Rt△ABC中,點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn),可得,再根據(jù)△ABD和△ACE是等腰三角形,可得,再由(1)可得,,從而判定四邊形FMAN是矩形;
(3)根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合(2)的結(jié)論計(jì)算即可.
(1)四邊形ABCD是垂美四邊形
連接AC、BD
∵
∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上
∵
∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上
∴直線AC是線段BD的垂直平分線
∴
∴四邊形ABCD是垂美四邊形;
(2)①,理由如下
如圖,已知四邊形ABCD中,,垂足為E
由勾股定理得
②四邊形FMAN是矩形,理由如下
如圖,連接AF
∵在Rt△ABC中,點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn)
∵△ABD和△ACE是等腰三角形
由(1)可得,
∵
∴四邊形FMAN是矩形;
(3)連接CG、BE,
,即
在△AGB和△ACE中
∵
,即
∴四邊形CGEB是垂美四邊形
由(2)得
.
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整點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)的時(shí)間(s) | 可以得到整點(diǎn)P的坐標(biāo) | 可以得到整點(diǎn)P的個(gè)數(shù) |
1 | (0,1)(1,0) | 2 |
2 | (0,2)(1,1)(2,0) | 3 |
3 | (0,3)(1,2)(2,1)(3,0) | 4 |
. | · | . |
根據(jù)上表中的規(guī)律,回答下列問題:
(1)當(dāng)整點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)4s時(shí),可以得到的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______個(gè).
(2)當(dāng)整點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)8s時(shí),在直角坐標(biāo)系中描出可以得到的所有整點(diǎn),并順次連結(jié)這些整點(diǎn).
(3)當(dāng)整點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)______s時(shí),可以得到整點(diǎn)(16,4)的位置.
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A.﹣1
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