Question

已知二次函數(shù)y=（t+1）x²+2（t+2）x+

3

2

在x=0和x=2時(shí)的函數(shù)值相等．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若一次函數(shù)y=kx+6的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，m），求m和k的值；
（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)B，C間的部分（含點(diǎn)B和點(diǎn)C）向左平移n（n＞0）個(gè)單位后得到的圖象記為G，同時(shí)將（2）中得到的直線(xiàn)y=kx+6向上平移n個(gè)單位．請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線(xiàn)與圖象G有公共點(diǎn)時(shí)，求n的取值范圍．

Answer 1

（1）∵二次函數(shù)y=（t+1）x²+2（t+2）x+

3

2

在x=0和x=2時(shí)的函數(shù)值相等，
∴代入得：0+0+

3

2

=4（t+1）+4（t+2）+

3

2

，
解得：t=-

3

2

，
∴y=（-

3

2

+1）x²+2（-

3

2

+2）x+

3

2

=-

1

2

x²+x+

3

2

，
∴二次函數(shù)的解析式是y=-

1

2

x²+x+

3

2

．

（2）把A（-3，m）代入y=-

1

2

x²+x+

3

2

得：m=-

1

2

×（-3）²-3+

3

2

=-6，
即A（-3，-6），
代入y=kx+6得：-6=-3k+6，
解得：k=4，
即m=-6，k=4．

（3）由題意可知，點(diǎn)B、C間的部分圖象的解析式是y=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

（x²-2x-3）=-

1

2

（x-3）（x+1），-1≤x≤3，
則拋物線(xiàn)平移后得出的圖象G的解析式是y=-

1

2

（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，
此時(shí)直線(xiàn)平移后的解析式是y=4x+6+n，
如果平移后的直線(xiàn)與平移后的二次函數(shù)相切，
則方程4x+6+n=-

1

2

（x-3+n）（x+1+n）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，
即-

1

2

x²-（n+3）x-

1

2

n²-

9

2

=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，
判別式△=[-（n+3）]²-4×（-

1

2

）×（-

1

2

n²-

9

2

）=6n=0，
即n=0，
∵與已知n＞0相矛盾，
∴平移后的直線(xiàn)與平移后的拋物線(xiàn)不相切，
∴結(jié)合圖象可知，如果平移后的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)，
則兩個(gè)臨界的交點(diǎn)為（-n-1，0），（3-n，0），
則0=4（-n-1）+6+n，
n=

2

3

，
0=4（3-n）+6+n，
n=6，
即n的取值范圍是：

2

3

≤n≤6．